Resolva as inequações:
17) \frac{x-5}{x^{4}-4 x^{3}+3 x^{2}+4 x-4} \leq \frac{x-3}{x^{4}-5 x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x-5}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x-4} \;\le\; \frac{x-3}{x^{4}-5x^{2}+4}.
O conteúdo que vamos usar é o método de inequações racionais: levamos tudo para um único quociente, identificamos zeros do numerador (onde a expressão fica zero) e zeros do denominador (onde não está definida) e, em seguida, analisamos o sinal desse quociente em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro fatoramos os denominadores:
x^{4}-5x^{2}+4 = (x^{2}-1)(x^{2}-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2),
x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x-4 = (x-1)(x-2)^{2}(x+1).
Portanto a inequação é
\frac{x-5}{(x-1)(x-2)^{2}(x+1)} \;\le\; \frac{x-3}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}.

Passo 3

Passamos tudo para um único quociente subtraindo do lado esquerdo:
\frac{x-5}{(x-1)(x-2)^{2}(x+1)} - \frac{x-3}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} \;\le\; 0.
O denominador comum será
(x-1)(x+1)(x-2)^{2}(x+2).
No numerador fica
(x-5)(x+2)\;-\;(x-3)(x-2) = x^{2}-3x-10 \;-\;(x^{2}-5x+6) =2(x-8).

Passo 4

A inequação simplifica-se para
\frac{2(x-8)}{(x-1)(x+1)(x-2)^{2}(x+2)} \;\le\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x-8}{(x-1)(x+1)(x-2)^{2}(x+2)} \;\le\;0.

Passo 5

Identificamos zeros e polos:
  • Numerador zero em x=8.
  • Denominador zero em x=-2,\,-1,\,1,\,2 (esses pontos não pertencem ao domínio).
    O fator (x-2)^{2} é sempre positivo (exceto que anula o denominador em x=2), logo não muda sinal.
    Fazendo o quadro de sinais dos fatores \,(x-8),\,(x-1),\,(x+1),\,(x+2) obtemos que a fração é negativa em
(-2,-1),\quad(1,2),\quad(2,8)
e muda para zero em x=8.

Resposta

A solução da inequação é
(-2,-1)\;\cup\;(1,2)\;\cup\;(2,8].

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