3 Utilize a expressão de Colebrook para calcular o fator de atrito de Fanning e a queda de pressão de uma solução de sacarose a
Brix (
) escoando a
uma tubulação de aço comercial de 650 m de comprimento e 102,3 mm de diâmetro interno.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (lista clara).
- Vazão mássica:
. - Densidade da solução:
. - Viscosidade dinâmica:
. - Tubulação: comprimento
e diâmetro interno . - O enunciado pede:
- Calcular o fator de atrito de Fanning.
- Calcular a queda de pressão ao longo da tubulação (ΔP).
Observações: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta
do aço comercial. Vou adotar, por ser o valor típico usado em problemas,
(rugosidade para aço comercial). Vou explicitar essa hipótese quando a usar.
Passo 2
Converter unidades e calcular vazão volumétrica e velocidade média.
- Converter a vazão mássica para
:
- Vazão volumétrica
:
- Área da seção transversal (diâmetro interno
):
- Velocidade média
:
Pequeno comentário didático: a velocidade média em um tubo é simplesmente a vazão volumétrica dividida pela área. É a velocidade que usamos nas fórmulas de perda de carga e no número de Reynolds.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa.
- Número de Reynolds:
Cálculo numérico:
Conclusão:
— escoamento turbulento (pois
).
- Rugosidade relativa (usei
):
Explicação didática curta:
indica se o escoamento é laminar ou turbulento; aqui, sendo grande, devemos usar fórmulas de escoamento turbulento com influência de rugosidade.
Passo 4
Apresentar a equação de Colebrook (forma padrão) e explicar a relação entre fator de Darcy e fator de Fanning.
- Equação de Colebrook (forma implícita para o fator de Darcy
):
- Relação entre os fatores:
Didática: a equação de Colebrook não dá
explicitamente — está dentro de uma raiz e de um logaritmo. Por isso costumamos resolver por iteração (método de ponto fixo) ou usar aproximações. Vou resolver iterativamente (mostro os passos), começando por um palpite inicial (por exemplo a fórmula de Blasius) e iterando até convergência.
Passo 5
Escolher palpite inicial e iniciar a iteração de Colebrook (mostrar iterações).
- Palpite inicial (Blasius para turbulência totalmente desenvolvida em superfície lisa):
Calcular:
Agora aplicamos a forma rearranjada da Colebrook para obter uma nova estimativa:
Iterações (apresento duas–três iterações até convergência razoável):
Iteração 1 (usando
):
-
. -
-
- Soma dentro do
: . -
. -
Iteração 2 (usando
):
-
. -
- Soma:
-
-
Iteração 3:
- Aplicando o mesmo processo obtém-se
.
Convergência atingida quando a diferença entre iterações é desprezível; aqui o fator de Darcy converge para
Comentário: se preferir, em prova pode-se fazer 3–5 iterações; há também fórmulas explícitas (Swamee–Jain) que aproximam bem sem iterar, mas o enunciado pediu usar Colebrook, então iteração é a via clássica.
Passo 6
Calcular o fator de Fanning a partir do fator de Darcy encontrado.
Didática curta: o fator de Darcy é o que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach; o fator de Fanning é usado em muitas tabelas de engenharia de processamento e é exatamente um quarto do fator de Darcy.
Passo 7
Calcular a queda de pressão
ao longo do comprimento
.
Usarei a forma com o fator de Darcy (mais direta):
Usarei a forma com o fator de Darcy (mais direta):
- Primeiro
:
- Termo dinâmico
:
- Agora
:
Em unidades mais usuais:
Verificação alternativa com o fator de Fanning (mesma resposta): usando
obtém-se o mesmo valor.
Passo 8
Resumo final, comentários práticos e motivação.
- Resultado físico: uma perda de carga da ordem de
em é razoável para um fluido viscoso como solução de sacarose em uma tubulação comercial; isso mostra que a viscosidade e a rugosidade têm impacto apreciável. - Observação sobre hipótese de rugosidade: usei
. Se a rugosidade verdadeira for diferente (soldada, envelhecida, revestida etc.), o fator de atrito e a queda de pressão mudariam; para rugosidade maior, e aumentam. - Dica de prova: faça as conversões de unidade no início, calcule
e , escolha o método (Colebrook iterativo), e lembre que . Em prova, três iterações normalmente já dão precisão suficiente.