3 Utilize a expressão de Colebrook para calcular o fator de atrito de Fanning e a queda de pressão de uma solução de sacarose a 20^{\circ} Brix ( \rho=1073 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} ; \mu= 1,92 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} ) escoando a 45000 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~h}^{-1} \mathrm{em} uma tubulação de aço comercial de 650 m de comprimento e 102,3 mm de diâmetro interno.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (lista clara).
  • Vazão mássica: \dot{m}=45000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Densidade da solução: \rho=1073\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=1,92\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}.
  • Tubulação: comprimento L=650\\ \mathrm{m} e diâmetro interno D=102{,}3\\ \mathrm{mm}.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular o fator de atrito de Fanning.
    2. Calcular a queda de pressão ao longo da tubulação (ΔP).
Observações: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta \varepsilon do aço comercial. Vou adotar, por ser o valor típico usado em problemas, \varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (rugosidade para aço comercial). Vou explicitar essa hipótese quando a usar.

Passo 2

Converter unidades e calcular vazão volumétrica e velocidade média.
  • Converter a vazão mássica para \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}:
\dot{m}=\frac{45000}{3600}=12{,}5\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Vazão volumétrica \;Q=\dfrac{\dot{m}}{\rho}:
Q=\frac{12{,}5}{1073}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\mathrm{s}^{-1}=0{,}011645\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Área da seção transversal (diâmetro interno D=102{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}1023\\ \mathrm{m}):
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}1023)^2}{4}=0{,}008219\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média V=Q/A:
V=\frac{0{,}011645}{0{,}008219}=1{,}417\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
Pequeno comentário didático: a velocidade média em um tubo é simplesmente a vazão volumétrica dividida pela área. É a velocidade que usamos nas fórmulas de perda de carga e no número de Reynolds.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e a rugosidade relativa.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{1073\cdot1{,}417\cdot0{,}1023}{1{,}92\times10^{-3}}.
Cálculo numérico:
\mathrm{Re}\approx\frac{155{,}58}{1{,}92\times10^{-3}}\approx81011.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx8{,}10\times10^{4} — escoamento turbulento (pois \mathrm{Re}\gg4000).
  • Rugosidade relativa (usei \varepsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}):
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\times10^{-5}}{0{,}1023}=4{,}40\times10^{-4}.
Explicação didática curta: \mathrm{Re} indica se o escoamento é laminar ou turbulento; aqui, sendo grande, devemos usar fórmulas de escoamento turbulento com influência de rugosidade.

Passo 4

Apresentar a equação de Colebrook (forma padrão) e explicar a relação entre fator de Darcy e fator de Fanning.
  • Equação de Colebrook (forma implícita para o fator de Darcy f_D):
\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-2{,}0\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_D}}\right).
  • Relação entre os fatores:
f_{\text{Fanning}}=f_F=\frac{f_D}{4}.
Didática: a equação de Colebrook não dá f_D explicitamente — está dentro de uma raiz e de um logaritmo. Por isso costumamos resolver por iteração (método de ponto fixo) ou usar aproximações. Vou resolver iterativamente (mostro os passos), começando por um palpite inicial (por exemplo a fórmula de Blasius) e iterando até convergência.

Passo 5

Escolher palpite inicial e iniciar a iteração de Colebrook (mostrar iterações).
  • Palpite inicial (Blasius para turbulência totalmente desenvolvida em superfície lisa):
f_{D,0}=0{,}3164\;\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Calcular:
f_{D,0}=0{,}3164\cdot(81011)^{-0{,}25}\approx0{,}01872.
Agora aplicamos a forma rearranjada da Colebrook para obter uma nova estimativa:
f_{D,\text{novo}}=\left[-2{,}0\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{D,\text{atual}}}}\right)\right]^{-2}.
Iterações (apresento duas–três iterações até convergência razoável):
Iteração 1 (usando f_{D,0}=0{,}01872):
  • \sqrt{f_{D,0}}=0{,}1368.
  • \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{D,0}}}=\dfrac{2{,}51}{81011\cdot0{,}1368}=2{,}26\times10^{-4}.
  • \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=\dfrac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}1023}=1{,}19\times10^{-4}.
  • Soma dentro do \log_{10}: 3{,}45\times10^{-4}.
  • -2{,}0\log_{10}(\cdots)=6{,}924.
  • f_{D,1}=1/(6{,}924)^2=0{,}02086.
Iteração 2 (usando f_{D,1}=0{,}02086):
  • \sqrt{f_{D,1}}=0{,}1444.
  • \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{D,1}}}=\dfrac{2{,}51}{81011\cdot0{,}1444}=2{,}15\times10^{-4}.
  • Soma: 1{,}19\times10^{-4}+2{,}15\times10^{-4}=3{,}34\times10^{-4}.
  • -2{,}0\log_{10}(\cdots)=6{,}953.
  • f_{D,2}=1/(6{,}953)^2=0{,}02069.
Iteração 3:
  • Aplicando o mesmo processo obtém-se f_{D,3}\approx0{,}02071.
Convergência atingida quando a diferença entre iterações é desprezível; aqui o fator de Darcy converge para
f_D\approx0{,}02071.
Comentário: se preferir, em prova pode-se fazer 3–5 iterações; há também fórmulas explícitas (Swamee–Jain) que aproximam bem sem iterar, mas o enunciado pediu usar Colebrook, então iteração é a via clássica.

Passo 6

Calcular o fator de Fanning a partir do fator de Darcy encontrado.
f_F=\frac{f_D}{4}=\frac{0{,}02071}{4}=0{,}0051775\approx0{,}00518.
Didática curta: o fator de Darcy é o que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach; o fator de Fanning é usado em muitas tabelas de engenharia de processamento e é exatamente um quarto do fator de Darcy.

Passo 7

Calcular a queda de pressão \Delta P ao longo do comprimento L.
Usarei a forma com o fator de Darcy (mais direta):
\Delta P = f_D\left(\frac{L}{D}\right)\left(\frac{\rho V^2}{2}\right).
  • Primeiro L/D:
\frac{L}{D}=\frac{650}{0{,}1023}=6356{,}8.
  • Termo dinâmico \rho V^2/2:
\frac{\rho V^2}{2}=\frac{1073\cdot(1{,}417)^2}{2}=1077{,}0\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aprox.}).
  • Agora \Delta P:
\Delta P=0{,}02071\times6356{,}8\times1077{,}0\approx141868\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
\Delta P\approx1{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=142\\ \mathrm{kPa}.
Verificação alternativa com o fator de Fanning (mesma resposta): usando \Delta P=2 f_F (L/D)\rho V^2 obtém-se o mesmo valor.

Passo 8

Resumo final, comentários práticos e motivação.
  • Resultado físico: uma perda de carga da ordem de 142\\ \mathrm{kPa} em 650\\ \mathrm{m} é razoável para um fluido viscoso como solução de sacarose em uma tubulação comercial; isso mostra que a viscosidade e a rugosidade têm impacto apreciável.
  • Observação sobre hipótese de rugosidade: usei \varepsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}. Se a rugosidade verdadeira for diferente (soldada, envelhecida, revestida etc.), o fator de atrito e a queda de pressão mudariam; para rugosidade maior, f e \Delta P aumentam.
  • Dica de prova: faça as conversões de unidade no início, calcule V e \mathrm{Re}, escolha o método (Colebrook iterativo), e lembre que f_{\text{Fanning}}=f_D/4. Em prova, três iterações normalmente já dão precisão suficiente.

Resposta

f_{\text{Fanning}}=0{,}00518
\Delta P \approx1{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados