No processo de produção de metanol, a corrente gasosa de alimentação com vazão molar de 100 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} contém 32 \% \mathrm{CO}, 64 \% \mathrm{H}_{2} e 4 \% \mathrm{~N}_{2}. O produto do reator é condensado em metanol líquido e separado dos gases que não reagiram. A porção não reagida é reciclada na razão 5:1 entre mols reciclados por mol da alimentação fresca. Parte da corrente de reciclo é purgada.
a. Desenhe e rotule o fluxograma do processo e faça uma análise dos graus de liberdade.
b. Escreva todas as hipóteses.
c. Calcule todas as vazões e composições desconhecidas.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (lista clara).
  • Pedido:
    a. Desenhar e rotular o fluxograma do processo e fazer análise dos graus de liberdade.
    b. Escrever todas as hipóteses.
    c. Calcular todas as vazões e composições desconhecidas.
  • Dados numéricos (peguei estes dados do enunciado):
    • Vazão molar da alimentação fresca: \,F=100\\ \mathrm{mol/min}.
    • Composição da alimentação fresca (mole fraction, em % molar):
      • \,32\% de CO \Rightarrow \,CO_F=32\\ \mathrm{mol/min}.
      • \,64\% de \mathrm{H_2} \Rightarrow \,H_{2F}=64\\ \mathrm{mol/min}.
      • \,4\% de \mathrm{N_2} \Rightarrow \,N_{2F}=4\\ \mathrm{mol/min}.
    • Reação de síntese de metanol (implícita no enunciado): \mathrm{CO} + 2\mathrm{H_2} \longrightarrow \mathrm{CH_3OH}.(isto define consumo: 1 mol CO consome 2 mol \mathrm{H_2} e produz 1 mol metanol.)
    • A porção não reagida é reciclada tal que a razão entre mols reciclados e mols da alimentação fresca é 5:1. Interpreto isto como: R = 5 \times F = 5\times100 = 500\\ \mathrm{mol/min},onde R é a vazão reciclada que entra novamente no reator (após a separação).
    • Parte da corrente de reciclo é purgada (há um purge \,P que sai do circuito). O produto (metanol) é condensado e retirado como líquido; os gases não reagidos vão para o separador (dali sai o ramo reciclado R e o purge P).
Observação: no passo 1 não resolvo nada — apenas listei o que foi pedido e todos os dados numéricos relevantes.

Passo 2

Desenho e rótulos do fluxograma (descrição textual do fluxograma pedido) e identificação das correntes principais.
  • Fluxograma (descrição):
    • Alimentação fresca F (100 mol/min) entra e se mistura com a corrente reciclada R (500 mol/min) antes do reator.
    • Mistura entra no reator (reação consome CO e \mathrm{H_2} formando metanol).
    • Saída do reator vai para um condensador/separador: o metanol condensado sai como produto líquido P_{MeOH} e os gases não reagidos saem como corrente S (que é dividida em purge P e retorno R).
    • Assim: S = R + P.
  • Correntes e variáveis (a rotular no fluxograma):
    • F=100\\ \mathrm{mol/min} com CO_F=32,\\ H_{2F}=64,\\ N_{2F}=4 (mol/min).
    • R=500\\ \mathrm{mol/min} (dado).
    • P = vazão da purga (desconhecida).
    • S = vazão total de gases do separador antes do split S=R+P.
    • x = extensão da reação = vazão molar de metanol produzida (mol/min) = consumo de CO (mol/min) (porque 1 mol CO → 1 mol CH3OH).
    • Produto metanol líquido: P_{MeOH}=x\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 3

Análise de graus de liberdade (contagem de equações e incógnitas) — forma didática.
  • Incógnitas principais (numéricas) que precisamos determinar:
    1. x (vazão de metanol formado, mol/min).
    2. P (vazão de purge, mol/min).
    3. Composições / vazões molares de cada espécie nas correntes-chave: no reator (alimentação total), no separador (saída gasosa S), no ramo reciclado R (componentes r_{CO}, r_{H_2}, r_{N_2}), no purge P (componentes), etc.
    • Contando incógnitas: podemos listar incógnitas por espécie nas correntes; mas vamos proceder por balanços de espécie (isso evita contar cada componente isoladamente).
  • Equações disponíveis:
    • Balanço total e balanços por componente na operação em regime estacionário.
    • Para cada espécie (CO, H2, N2) vale a equação de balanço global (entrada pela alimentação fresca + entrada pela reciclagem − consumo na reação − saída pela purge = 0).
    • Relação entre as frações molares na corrente do separador e as correntes R e P (o split não muda composição).
    • Relação dada: R=500\\ \mathrm{mol/min} (dado).
    • Soma de frações molares no gás do separador = 1.
  • Contagem rápida: com as equações por espécie temos 3 equações (CO, H2, N2) mais a soma das frações = 1; além disso a relação R=500 e S=R+P. No entanto as equações não são todas independentes; a combinação leva a que exista uma liberdade única (um grau de liberdade) se só usarmos os dados do enunciado. Concretamente a análise mostra:
    • Há uma equação resultante combinada que dá \,P = 100 - 3x (veremos a dedução nos próximos passos), o que liga P e x. Portanto existe 1 grau de liberdade: só com os dados do enunciado (sem mais hipótese sobre conversão por passagem, eficiência do reator, equilíbrio, ou especificação de conversão) não se determina unicamente x e P.
  • Conclusão da análise de graus de liberdade: sem hipótese adicional o sistema tem 1 grau de liberdade (uma variável livre). Para obter solução numérica é necessário uma hipótese adicional (por exemplo, taxa de conversão por passagem ou comportamento do reator). Vou explicitar e justificar as hipóteses no passo seguinte.

Passo 4

Escrever todas as hipóteses (parte b do enunciado). Vou listar hipóteses explícitas e explicar o porquê — sou transparente, como um colega te ajudando a decidir um fechamento razoável.
Hipóteses principais:
  1. Regime estacionário (estado estacionário): não há acumulação de massa total nem de espécie no sistema. Isso é usual em problemas de balanço.
  2. Nitrogênio ( \mathrm{N_2}) é completamente inerte: não participa da reação e não é condensado (fica sempre no circuito gasoso).
  3. Separador/condensador retira todo o metanol formado (produto líquido) e os gases que saem do separador não contêm metanol (ou seja, separação perfeita do metanol).
  4. O split entre purge P e recycle R não muda a composição dos gases (split ideal, sem fracionamento).
  5. Interpretação da frase do enunciado sobre reciclagem: a razão de 5:1 refere-se aos mols efetivamente reciclados por mol da alimentação fresca, isto é R=5\cdot F=500\\ \mathrm{mol/min} (essa interpretação foi adotada porque é a leitura direta da frase).
  6. Fecho adicional (hipótese necessária para obter solução numérica única): assumiremos que o reator converte totalmente os reagentes disponíveis na alimentação do reator a cada passagem de modo que não sai CO nem \mathrm{H_2} no gás do separador (ou seja, conversão por passagem de CO e \mathrm{H_2} igual a 100\%). Justificativa: o enunciado não dá taxa de conversão por passagem nem conversão global; para obter valores numéricos precisos é preciso uma hipótese de fechamento. Escolhi conversão completa por passagem como hipótese simples e plausível (em alguns projetos o reator é seguido de separador e reciclagem até consumo efetivo dos reagentes); isso gera uma solução numérica simples e consistente com massa. Se preferir outro fechamento (por exemplo conversão por passagem \alpha), o procedimento abaixo mostra como obter as expressões em função de \alpha.
Observação didática: se não aceitarmos a hipótese (6) o problema tem uma família de soluções parametrizada por uma variável (por ex. extensão da reação x ou purge P). Vou prosseguir usando (6) para calcular valores numéricos completos, e ao longo mostro a derivação geral que permite trocar a hipótese se o professor pedir outro fechamento.

Passo 5

Deduzir equações de balanço (forma geral) — desenvolvimento passo a passo e muito didático.
Definições e notação:
  • x = mol/min de metanol formado = consumo de CO (mol/min).
  • P = vazão da purga (mol/min).
  • R = vazão reciclada (mol/min) = 500\\ \mathrm{mol/min} (dado).
  • S = vazão total dos gases do separador antes do split: \,S = R + P.
  • Para cada espécie i (CO, H2, N2) o balanço global em regime estacionário é: \text{entrada fresca de }i + \text{entrada reciclada de }i - \text{consumo do reator de }i - \text{saída por purge de }i = 0.íComo as quantidades recicladas que entram são exatamente as frações molares do gás vezes R, e a fração purgada de cada espécie é a mesma fração (o split é ideal), uma forma compacta útil é a versão abaixo (equação padrão para este tipo de loop):
Balanços por espécie (forma simples e muito usada para loops com purge):
  • Para CO: y_{CO}\,P = CO_F - x,porque y_{CO}P é a quantidade de CO que sai do sistema pela purge, e a única fonte líquida de CO é a alimentação fresca CO_F, consumindo-se x por reação.
  • Para \mathrm{H_2}: y_{H_2}\,P = H_{2F} - 2x,porque 2x é o consumo de \mathrm{H_2}.
  • Para \mathrm{N_2} (inerte): y_{N_2}\,P = N_{2F} = 4,pois o único aporte de \mathrm{N_2} é a alimentação fresca (o inerte não é consumido) e a única saída líquida do sistema é a purge.
Aqui y_i denota a fração molar da espécie i no gás que é purgado (e também no gás reciclado), ou seja no fluxo do separador S.
Soma das frações molares:
y_{CO} + y_{H_2} + y_{N_2} = 1.
Agora substituímos as expressões de y_i em função de P a partir dos balanços:
y_{CO} = \frac{CO_F - x}{P},\qquad y_{H_2} = \frac{H_{2F} - 2x}{P},\qquad y_{N_2} = \frac{4}{P}.
Somando:
\frac{CO_F - x}{P} + \frac{H_{2F} - 2x}{P} + \frac{4}{P} = 1.
Multiplicando por P:
CO_F + H_{2F} + 4 - x - 2x = P.
Lembrando que CO_F + H_{2F} + N_{2F} = 32 + 64 + 4 = 100, obtemos a relação geral simples:
\boxed{P = 100 - 3x.}
Isto mostra explicitamente que P e x estão relacionados, restando 1 grau de liberdade (precisamos de uma hipótese adicional para fixar x) — foi exatamente o que foi dito na análise de graus de liberdade.

Passo 6

Aplicar a hipótese de fechamento escolhida (hipótese 6: conversão por passagem =100\%) e calcular numericamente todas as vazões e composições.
Hipótese 6 em termos das variáveis:
  • Conversão completa por passagem significa que na saída do reator (antes do separador) não há CO nem \mathrm{H_2} (ou seja, todo CO e todo \mathrm{H_2} da alimentação do reator foram consumidos). Em termos da variável x, isto quer dizer que x é igual ao total de CO que entra no reator. Mas como reciclaríamos apenas se houvesse CO na corrente reciclada, a suposição de 100% por passagem implica que a corrente retornada R não contém CO nem \mathrm{H_2} — apenas inerte ( \mathrm{N_2}). Isso leva a uma solução consistente e simples.
Consistência com os balanços:
  • Se todo o CO introduzido no reator (vindos da alimentação fresca e da reciclagem) é consumido, então o consumo líquido x não pode exceder a contribuição líquida de CO do fluxo fresco (pois reciclo apenas devolve CO já existente). Usando a equação geral P = 100 - 3x e sabendo que P\ge 0, obtemos x \le 100/3 \approx 33{,}33. Além disso, pelo fornecimento fresco, x\le CO_F=32 (pois no balanço global consumo líquido de CO não pode exceder 32 mol/min, a entrada fresca de CO). Assim o máximo fisicamente possível é x=32. Com a hipótese de 100% por passagem, escolhemos x=32 (consumir todos os 32 mol/min de CO da alimentação fresca).
Calculemos P a partir da relação:
P = 100 - 3x = 100 - 3\cdot32 = 100 - 96 = 4\\ \mathrm{mol/min}.
Agora calculamos composições e demais vazões:
  • Produto metanol (líquido) formado:
    P_{MeOH} = x = 32\\ \mathrm{mol/min}.
  • Purge:
    • P = 4\\ \mathrm{mol/min}.
    • Fração molar de \mathrm{N_2} no purge: y_{N_2} = \frac{4}{P} = \frac{4}{4} = 1.Logo o purge é puro \mathrm{N_2} (100% N_2). As frações de CO e \mathrm{H_2} no purge são zero.
    • A vazão molar de \mathrm{N_2} purgada é y_{N_2}P = 1\cdot4 = 4\\ \mathrm{mol/min}, que corresponde exatamente à entrada fresca de \mathrm{N_2} (estoque de inerte em equilíbrio).
  • Corrente reciclada R (dado):
    • R = 500\\ \mathrm{mol/min}.
    • Frações molares no reciclado iguais às do gás do separador; com a hipótese 100% conversão por passagem, no gás do separador só resta \mathrm{N_2}. Portanto o reciclado é puro \mathrm{N_2}: r_{N_2} = R = 500\\ \mathrm{mol/min},\quad r_{CO}=0,\quad r_{H_2}=0.
  • Vazão total de gás do separador:
    S = R + P = 500 + 4 = 504\\ \mathrm{mol/min},
    e é puramente \mathrm{N_2} (504 mol/min).
  • Alimentação do reator (mistura de F e R):
    • Total molar: F+R = 100 + 500 = 600\\ \mathrm{mol/min}.
    • Composição em mol/min:
      • CO na alimentação do reator: 32 + 0 = 32\\ \mathrm{mol/min}.
      • \mathrm{H_2} na alimentação do reator: 64 + 0 = 64\\ \mathrm{mol/min}.
      • \mathrm{N_2} na alimentação do reator: 4 + 500 = 504\\ \mathrm{mol/min}.
    • Frações molares na alimentação do reator: y_{CO}^{feed} = \frac{32}{600} = 0{,}05333\\ (\text{ou }5{,}333\%),
y_{H_2}^{feed} = \frac{64}{600} = 0{,}10667\\ (\text{ou }10{,}667\%),
y_{N_2}^{feed} = \frac{504}{600} = 0{,}84\\ (\text{ou }84{,}0\%).
  • Saída do reator (antes do separador), sob hipótese de conversão completa:
    • Todo CO e \mathrm{H_2} foram consumidos: saem 0 mol/min de CO e 0 mol/min de \mathrm{H_2}.
    • Sai somente \mathrm{N_2} com vazão 504\\ \mathrm{mol/min}.
    • O metanol formado x=32 mol/min está no efluente do reator e é totalmente condensado no separador (produto líquido).
Resumo dos cálculos numéricos (já apresentados acima):
  • x = 32\\ \mathrm{mol/min} de \mathrm{CH_3OH} (produto líquido).
  • P = 4\\ \mathrm{mol/min} (purge, todo N_2).
  • R = 500\\ \mathrm{mol/min} (reciclado, todo N_2).
  • Alimentação do reator: 600\\ \mathrm{mol/min} com composições em mol/min (CO,H_2,N_2)=(32,64,504) e frações molares (0{,}05333,\\\ 0{,}10667,\\\ 0{,}84).
  • Saída do separador (gás) S=504\\ \mathrm{mol/min} = todo N_2.

Passo 7

Verificação de consistência (checar balanços e lógica, passo a passo).
  • Balanço de \mathrm{N_2}: entrada =4 (fresco). Saída por purge =4. Sem acumulação ⇒ OK.
  • Balanço de CO: entrada fresca 32, reciclo 0, consumo x=32, purge 0 32 + 0 - 32 - 0 = 0 ⇒ OK.
  • Balanço de \mathrm{H_2}: entrada fresca 64, reciclo 0, consumo 2x=64, purge 0 64 + 0 - 64 - 0 = 0 ⇒ OK.
  • Balanço total: alimentaram-se 600 mol/min no reator, reator produziu 32 mol/min de metanol (liquido) e devolveu 504 mol/min de N2 ao separador; separador divide em 500 mol/min (recycle) + 4 mol/min purge, e o produto líquido sai 32 mol/min: 600 in → 32 (líquido) + 504 (gás circulante) + 64? (não: os 64 de H2 foram consumidos). A soma das espécies está consistente com as equações de reação e separação.
Interpretação: a solução com conversão total por passagem é consistente e é uma solução válida e fisicamente possível (embora em prática raramente se consiga 100% por passagem; mas como hipótese didática para fechar o sistema, é aceitável).

Resposta

Produto metanol (líquido): 32\\ \mathrm{mol/min}
Purge: P=4\\ \mathrm{mol/min} (composição: 100\%\\ \mathrm{N_2})
Reciclado: R=500\\ \mathrm{mol/min} (composição: 100\%\\ \mathrm{N_2})
Vazão total do separador: S=504\\ \mathrm{mol/min} (todo \mathrm{N_2})
Alimentação do reator (total): 600\\ \mathrm{mol/min} com CO=32\\ \mathrm{mol/min},\\ H_2=64\\ \mathrm{mol/min},\\ N_2=504\\ \mathrm{mol/min}
Composições na alimentação do reator (frações molares): y_{CO}=0{,}05333,\\ y_{H_2}=0{,}10667,\\ y_{N_2}=0{,}84

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