Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido
Dentro tanto do cilindro
quanto do elipsóide
.
Dentro tanto do cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está simultaneamente dentro do cilindro
e dentro do elipsóide
.
Informações dadas e o que vamos usar:
- O cilindro é circular de raio
: isto significa que a projeção do sólido no plano é o disco . - O elipsóide pode ser reescrito isolando
: . Assim, para cada ponto a interseção com o elipsóide tem entre - O volume pedido é a região vertical acima do disco
onde fica entre as duas raízes acima (porque estamos dentro do elipsóide também).
O enunciado pede apenas o valor numérico do volume do sólido.
Passo 2
Escolha de coordenadas: como a projeção no plano
é um disco circular, é natural usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que funcionam:
- Em coordenadas polares, usa-se
e tais que onde é a distância ao origem e é o ângulo polar. - A área em coordenadas cartesianas
se transforma em . Esse fator extra é o Jacobiano da transformação polar; ele aparece porque um pequeno retângulo em tem área aproximada . - No nosso problema, o disco
vira e .
Vou usar a fórmula prática para volumes por integração:
Aqui a altura superior é
e a inferior
, então a diferença é
.
Passo 3
Montagem da integral dupla em coordenadas polares.
Escrevendo tudo em polares e usando
, o volume
é
Antes de calcular, faço uma simplificação algébrica do integrando:
Logo a integral fica
Passo 4
Separação das integrais (são independentes em
) e fatoração de constantes.
A integral em
é simplesmente
. Portanto
Agora vamos calcular a integral unidimensional
Passo 5
Cálculo de
por substituição simples (método padrão para integrais do tipo
).
Escolho a substituição
. Então
, ou seja
.
Mudança dos limites:
- quando
, ; - quando
, .
Substituindo,
Agora integro
:
Portanto
Calculo os termos explícitos:
Logo
Passo 6
Retorno ao volume: substituo
em
.
Multiplicando os termos:
Portanto
Podemos também fatorar
para uma forma mais compacta: