Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido
Dentro tanto do cilindro x^{2}+y^{2}=4 quanto do elipsóide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=64.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está simultaneamente dentro do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; e dentro do elipsóide \;4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=64\;.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • O cilindro é circular de raio 2: isto significa que a projeção do sólido no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • O elipsóide pode ser reescrito isolando z: \;z^{2}=64-4x^{2}-4y^{2}\;. Assim, para cada ponto (x,y) a interseção com o elipsóide tem z entre z=-\sqrt{64-4(x^{2}+y^{2})}\quad\text{e}\quad z=+\sqrt{64-4(x^{2}+y^{2})}.
  • O volume pedido é a região vertical acima do disco x^{2}+y^{2}\le 4 onde z fica entre as duas raízes acima (porque estamos dentro do elipsóide também).
O enunciado pede apenas o valor numérico do volume do sólido.

Passo 2

Escolha de coordenadas: como a projeção no plano xy é um disco circular, é natural usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que funcionam:
  • Em coordenadas polares, usa-se r e \theta tais que x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar.
  • A área em coordenadas cartesianas dA se transforma em dA = r\,dr\,d\theta. Esse fator extra r é o Jacobiano da transformação polar; ele aparece porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
  • No nosso problema, o disco x^{2}+y^{2}\le 4 vira 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
Vou usar a fórmula prática para volumes por integração:
\text{Volume} = \iint_{\text{projeção}} \big(\text{altura superior} - \text{altura inferior}\big)\,dA.çã
Aqui a altura superior é z_{+}=\sqrt{64-4r^{2}} e a inferior z_{-}=-\sqrt{64-4r^{2}}, então a diferença é 2\sqrt{64-4r^{2}}.

Passo 3

Montagem da integral dupla em coordenadas polares.
Escrevendo tudo em polares e usando dA = r\,dr\,d\theta, o volume V é
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} \big(2\sqrt{64-4r^{2}}\big)\, r\,dr\,d\theta.
Antes de calcular, faço uma simplificação algébrica do integrando:
2\sqrt{64-4r^{2}}\; r = 2\sqrt{4(16-r^{2})}\; r = 2\cdot 2\sqrt{16-r^{2}}\; r = 4r\sqrt{16-r^{2}}.
Logo a integral fica
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 4r\sqrt{16-r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separação das integrais (são independentes em \theta) e fatoração de constantes.
A integral em \theta é simplesmente \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Portanto
V = 2\pi \cdot \int_{0}^{2} 4r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = 8\pi \int_{0}^{2} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr.
Agora vamos calcular a integral unidimensional
I=\int_{0}^{2} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr.

Passo 5

Cálculo de I por substituição simples (método padrão para integrais do tipo r\sqrt{a-r^{2}}).
Escolho a substituição \;u=16-r^{2}\;. Então \;du=-2r\,dr\;, ou seja \;r\,dr=-\tfrac{1}{2}\,du\;.
Mudança dos limites:
  • quando r=0, u=16-0=16;
  • quando r=2, u=16-4=12.
Substituindo,
I=\int_{r=0}^{2} r\sqrt{16-r^{2}}\,dr = \int_{u=16}^{12} \sqrt{u}\,\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int_{u=12}^{16} \sqrt{u}\,du.
Agora integro \sqrt{u}=u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
I = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{12}^{16} = \tfrac{1}{3}\big(16^{3/2}-12^{3/2}\big).
Calculo os termos explícitos:
16^{3/2}=(\sqrt{16})^{3}=4^{3}=64,
12^{3/2}=(\sqrt{12})^{3}=(2\sqrt{3})^{3}=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}.
Logo
I=\tfrac{1}{3}\big(64-24\sqrt{3}\big)=\tfrac{64}{3}-8\sqrt{3}.

Passo 6

Retorno ao volume: substituo I em V=8\pi I.
V = 8\pi\left(\tfrac{64}{3}-8\sqrt{3}\right).
Multiplicando os termos:
8\pi\cdot \tfrac{64}{3} = \tfrac{512}{3}\pi,\qquad 8\pi\cdot 8\sqrt{3}=64\pi\sqrt{3}.
Portanto
V=\tfrac{512}{3}\pi - 64\pi\sqrt{3}.
Podemos também fatorar 64\pi para uma forma mais compacta:
V = 64\pi\!\left(\tfrac{8}{3}-\sqrt{3}\right).

Resposta

\displaystyle V=\tfrac{512}{3}\pi-64\pi\sqrt{3}=64\pi\!\left(\tfrac{8}{3}-\sqrt{3}\right)

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