Q6. Determine os valores de máximo e mínimo globais das funções nos intervalos dados:
, no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de máximo e mínimo globais da função
no intervalo fechado
. As informações dadas são:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
As perguntas implícitas são: onde, em, atinge seu máximo global e seu mínimo global, e quais são esses valores.
Passo 2
Estratégia de solução (por que esse caminho): como o intervalo é fechado e limitado, o teorema das extremidades diz que um máximo e um mínimo globais existem e ocorrem em pontos críticos internos (onde
ou
não está definida) ou nas extremidades do intervalo. Portanto vou:
- calcular
e achar os pontos críticos em ; - avaliar
nesses pontos críticos e nos extremos e ; - comparar os valores para decidir qual é máximo e qual é mínimo.
Passo 3
Calcular a derivada
— lembrete das regras usadas:
- Regra do produto: se
então . - Derivada da exponencial:
.
Aplicando à nossa função, tome
e
. Então
e
(pois a constante
é
aqui). Pela regra do produto,
Fatorando
(que é sempre positivo para todo
),
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Como
para todo
, a única solução é
Verificar que
pertence ao intervalo
: sim,
. Assim o conjunto de candidatos a extremos é
.
Passo 5
Avaliar
em cada candidato (mostrar contas passo a passo):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Para reforçar a classificação local em
, pode-se calcular a segunda derivada (opcional, mas didático). Partindo de
, aplica-se a regra do produto novamente:
Em
tem-se
logo
é um máximo local (e, como veremos na comparação dos valores, também será o máximo global no intervalo).
Agora compare os valores numéricos obtidos:
Desses três, o maior é
e o menor é
.
Resposta
Máximo global:
Mínimo global:
Mínimo global: