Q6. Determine os valores de máximo e mínimo globais das funções nos intervalos dados:
g(x)=x e^{-x}, no intervalo [0,3]

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de máximo e mínimo globais da função g no intervalo fechado [0,3]. As informações dadas são:
  • A função é g(x)=x e^{-x}.
  • O intervalo considerado é [0,3].
    As perguntas implícitas são: onde, em [0,3], g atinge seu máximo global e seu mínimo global, e quais são esses valores.

Passo 2

Estratégia de solução (por que esse caminho): como o intervalo é fechado e limitado, o teorema das extremidades diz que um máximo e um mínimo globais existem e ocorrem em pontos críticos internos (onde g'(x)=0 ou g' não está definida) ou nas extremidades do intervalo. Portanto vou:
  1. calcular g'(x) e achar os pontos críticos em [0,3];
  2. avaliar g nesses pontos críticos e nos extremos x=0 e x=3;
  3. comparar os valores para decidir qual é máximo e qual é mínimo.

Passo 3

Calcular a derivada g'(x) — lembrete das regras usadas:
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
Aplicando à nossa função, tome u(x)=x e v(x)=e^{-x}. Então u'(x)=1 e v'(x)=-e^{-x} (pois a constante a é -1 aqui). Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (que é sempre positivo para todo x),
g'(x)=e^{-x}(1-x).

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo g'(x)=0:
e^{-x}(1-x)=0.
Como \;e^{-x}>0 para todo x, a única solução é
1-x=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
Verificar que x=1 pertence ao intervalo [0,3]: sim, 1\in[0,3]. Assim o conjunto de candidatos a extremos é \{0,1,3\}.

Passo 5

Avaliar g em cada candidato (mostrar contas passo a passo):
  • Em x=0:
g(0)=0\cdot e^{0}=0.
  • Em x=1:
g(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}3679.
  • Em x=3:
g(3)=3\cdot e^{-3}=\dfrac{3}{e^{3}}\approx\dfrac{3}{20{,}0855}\approx 0{,}1494.
Para reforçar a classificação local em x=1, pode-se calcular a segunda derivada (opcional, mas didático). Partindo de g'(x)=e^{-x}(1-x), aplica-se a regra do produto novamente:
g''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)(1-x)+e^{-x}\dfrac{d}{dx}(1-x) =-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=-e^{-x}(2-x).
Em x=1 tem-se
g''(1)=-e^{-1}(2-1)=-e^{-1}<0,
logo x=1 é um máximo local (e, como veremos na comparação dos valores, também será o máximo global no intervalo).
Agora compare os valores numéricos obtidos:
g(0)=0,\qquad g(1)=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}3679,\qquad g(3)=\dfrac{3}{e^{3}}\approx 0{,}1494.
Desses três, o maior é g(1)=\dfrac{1}{e} e o menor é g(0)=0.

Resposta

Máximo global: g(1)=\dfrac{1}{e}
Mínimo global: g(0)=0

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