Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
\iint_{D} x^{2} y d A, onde D é o semicírculo superior com centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2}y \, dA,
onde D é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1. Vou listar claramente as informações dadas:
  • A região D é o conjunto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x^{2}y.
    O objetivo é avaliar a integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Motivo para usar coordenadas polares: a região D é circular (disco cortado), então é muito mais simples descrever D e calcular a integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as substituições
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.

Passo 3

Jacobian (elemento de área) em coordenadas polares: quando fazemos a mudança (x,y)\mapsto(r,\theta) o elemento de área dA se transforma em
dA = r\, dr\, d\theta.
Explicando: a pequena área em cartesianas é aproximada por um retângulo de lados dr e r\,d\theta, daí a fator r.

Passo 4

Converter a integranda para polares. Substituindo x e y em x^{2}y:
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta) = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobian r temos o integrando em dr\,d\theta:
x^{2}y\, dA = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\, dr\, d\theta.

Passo 5

Determinar os limites da região D em polares. Como D é o semicírculo superior de raio 1:
  • r varia de 0 a 1, isto é 0\le r\le 1.
  • \theta cobre o semicírculo superior, isto é \theta varia de 0 a \pi, ou seja 0\le\theta\le\pi.
Portanto a integral vira
\iint_{D} x^{2}y\, dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\; dr\; d\theta.

Passo 6

Separar a integral em parte radial e angular (produto de funções de r e de \theta):
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\; dr\; d\theta = \left(\int_{0}^{1} r^{4}\,dr\right)\cdot\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\; d\theta\right),
pois r^{4} depende só de r e \cos^{2}\theta\sin\theta depende só de \theta.
Calcular a parte radial:
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Passo 7

Calcular a parte angular
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\; d\theta.
Fazer a substituição u=\cos\theta. Então du = -\sin\theta\, d\theta, ou seja \sin\theta\, d\theta = -du.
Os limites em u correspondem a \theta=0\Rightarrow u=\cos 0=1 e \theta=\pi\Rightarrow u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\; d\theta = \int_{u=1}^{-1} u^{2}(-du) = \int_{u=-1}^{1} u^{2}\, du.
Agora calcular:
\int_{-1}^{1} u^{2}\, du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 8

Combinar resultados:
  • parte radial =\dfrac{1}{5},
  • parte angular =\dfrac{2}{3}.
Portanto a integral total é
\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{15}.

Resposta

\dfrac{2}{15}

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