Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
, onde
é o semicírculo superior com centro na origem e raio 1 .
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o semicírculo superior de centro na origem e raio
. Vou listar claramente as informações dadas:
- A região
é o conjunto . - A função a integrar é
.
O objetivo é avaliar a integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Motivo para usar coordenadas polares: a região
é circular (disco cortado), então é muito mais simples descrever
e calcular a integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos as substituições
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Passo 3
Jacobian (elemento de área) em coordenadas polares: quando fazemos a mudança
o elemento de área
se transforma em
Explicando: a pequena área em cartesianas é aproximada por um retângulo de lados
e
, daí a fator
.
Passo 4
Converter a integranda para polares. Substituindo
e
em
:
Multiplicando pelo Jacobian
temos o integrando em
:
Passo 5
Determinar os limites da região
em polares. Como
é o semicírculo superior de raio
:
-
varia de a , isto é . -
cobre o semicírculo superior, isto é varia de a , ou seja .
Portanto a integral vira
Passo 6
Separar a integral em parte radial e angular (produto de funções de
e de
):
pois
depende só de
e
depende só de
.
Calcular a parte radial:
Passo 7
Calcular a parte angular
Fazer a substituição
. Então
, ou seja
.
Os limites em correspondem a
e
. Assim
Os limites em
Agora calcular:
Passo 8
Combinar resultados:
- parte radial
, - parte angular
.
Portanto a integral total é