Utilize a integral dupla para determinar a área da região limitada por r=6-4 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares limitada pela curva
r = 6 - 4\cos\theta.
O conteúdo é o cálculo de área usando integral dupla em coordenadas polares, para o qual precisamos lembrar que o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área A da região é
A = \iint_{\mathcal{R}} dA = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{6-4\cos\theta} r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em r:
\int_{r=0}^{6-4\cos\theta} r\,dr = \left.\frac{r^2}{2}\right|_{0}^{6-4\cos\theta} = \frac{(6-4\cos\theta)^2}{2}.
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A = \int_{0}^{2\pi} \frac{(6-4\cos\theta)^2}{2}\,d\theta = \frac12 \int_{0}^{2\pi} (6-4\cos\theta)^2\,d\theta.

Passo 4

Expandimos o quadrado:
(6-4\cos\theta)^2 = 36 - 48\cos\theta + 16\cos^2\theta = 36 - 48\cos\theta + 16\frac{1+\cos2\theta}{2} = 36 - 48\cos\theta + 8 + 8\cos2\theta = 44 - 48\cos\theta + 8\cos2\theta.
Substituindo na integral:
A = \frac12 \int_{0}^{2\pi} \bigl(44 - 48\cos\theta + 8\cos2\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Usamos que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta=0.
Então
A = \frac12 \Bigl[44\cdot 2\pi -48\cdot 0 +8\cdot 0\Bigr] = \frac12 \cdot 44\cdot 2\pi = 44\pi.

Resposta

A área da região limitada por r=6-4\cos\theta é 44\pi.

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