Utilize a integral dupla para determinar a área da região que está dentro de r=4 e fora de r=8+6 \operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz
8+6\sin\theta \le r \le 4
ou seja, está “fora” da curva r=8+6\sin\theta e “dentro” da curva r=4.
Vamos usar integral dupla em coordenadas polares, onde a área é
A=\iint_{\mathcal{R}}dA =\int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Precisamos determinar os ângulos em que as duas curvas se intersectam, resolvendo
8+6\sin\theta=4 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta=-\tfrac{2}{3}.
Seja \varphi=\arcsin\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr). No intervalo [0,2\pi) as soluções são
\theta_1=\pi+\varphi, \qquad \theta_2=2\pi-\varphi.

Passo 3

Montamos a integral de área com
r_1(\theta)=8+6\sin\theta, \quad r_2(\theta)=4, \quad \theta\in[\theta_1,\theta_2].
Então
A =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\!\int_{r_1}^{4}r\,dr\,d\theta =\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{2}\Bigl(4^2-(8+6\sin\theta)^2\Bigr)\,d\theta.

Passo 4

Expandindo a expressão dentro do integrando:
(8+6\sin\theta)^2 =64+96\sin\theta+36\sin^2\theta,
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4^2-(8+6\sin\theta)^2 =16-64-96\sin\theta-36\sin^2\theta =-48-96\sin\theta-36\sin^2\theta.
Portanto
A =\tfrac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}\bigl(-48-96\sin\theta-36\sin^2\theta\bigr)\,d\theta.
Para integrar usamos
\int\sin\theta\,d\theta=-\cos\theta, \quad \int\sin^2\theta\,d\theta =\tfrac12\theta-\tfrac14\sin(2\theta).

Passo 5

Calculando a integral e avaliando em \theta_1,\theta_2, usando
\cos\theta_1=-\tfrac{\sqrt5}{3},\quad \cos\theta_2= \tfrac{\sqrt5}{3}, \quad \sin(2\theta_1)=\sin(2\theta_2)\,(-1)=\pm\tfrac{4\sqrt5}{9},
chega‐se a
A =28\sqrt5+66\,\arcsin\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) -33\pi.

Resposta

A=28\sqrt5 \;+\;66\,\arcsin\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)\;-\;33\pi.

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