1. Utilize a integral dupla para determinar a área da região:
    (a) limitada por x=-y^{2} e x=y-6.
    (b) limitada por y=x^{2}+1 e y=\frac{1}{2} x^{2}+3.
  2. Utilize a integral dupla para determinar o volume da região:
    (a) que está entre o plano x y e f(x, y)=2-x y^{2} e está acima da região no plano x y que é limitada por y=x^{2} e x=1.
    (b) que está entre o plano x y e f(x, y)=1+y^{5} \sqrt{x^{4}+1} e está acima da região no plano x y que é limitada por y=\sqrt{x}, x=2 e o eixo- x.
    (c) no primeiro octante que está abaixo do plano 2 x+6 y+4 z=8.
    (d) limitada por z=3-2 y, a superfície y=1-x^{2} e os planos y=0 e z=0.
    (e) limitada pelos planos z=4-2 x-2 y, y=2 x, y=0 e z=0.
  3. Utilize a integral dupla para determinar a fórmula da área de um triângulo retângulo de base b e altura h.
  4. Utilize a integral dupla para obter a área de um disco de raio a.
  5. Utilize a integral dupla para determinar a área da região que está dentro de r=6-4 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado 1 pede áreas de duas regiões planas usando integrais duplas. Em (a) a fronteira é dada pelas curvas
x=-y^{2} \quad\text{e}\quad x=y-6,
e em (b) pelas curvas
y=x^{2}+1 \quad\text{e}\quad y=\tfrac12\,x^{2}+3.
Para cada caso identificamos a projeção D no plano xy, escrevemos a integral dupla sobre D com integrando 1 e calculamos.

Passo 2

Para 1(a) determinamos primeiro os pontos de interseção resolvendo
-y^{2}=y-6 \;\Longrightarrow\; y^{2}+y-6=0 \;\Longrightarrow\; y=-3,\;2.
Então a projeção D é
D=\{(x,y)\mid -3\le y\le2,\;y-6\le x\le -y^{2}\}.
A área é
\iint_{D}1\,dA =\int_{y=-3}^{2}\Bigl[\,-y^{2}-(y-6)\Bigr]\,dy =\int_{-3}^{2}\bigl(-y^{2}-y+6\bigr)\,dy.
Calculando:
\int(-y^{2}-y+6)\,dy =-\tfrac13y^{3}-\tfrac12y^{2}+6y,
avaliando de -3 a 2:
\Bigl(-\tfrac13\cdot2^{3}-\tfrac12\cdot2^{2}+6\cdot2\Bigr) -\Bigl(-\tfrac13\cdot(-3)^{3}-\tfrac12\cdot(-3)^{2}+6\cdot(-3)\Bigr) = \tfrac{125}{6}.

Passo 3

Para 1(b) achamos as interseções por
x^{2}+1=\tfrac12x^{2}+3 \;\Longrightarrow\; \tfrac12x^{2}-2=0 \;\Longrightarrow\; x=\pm2.
Nesse intervalo \tfrac12x^{2}+3 está acima de x^{2}+1, logo
D=\{(x,y)\mid -2\le x\le2,\;x^{2}+1\le y\le\tfrac12x^{2}+3\}.
A área é
\iint_{D}1\,dA =\int_{x=-2}^{2}\Bigl[\tfrac12x^{2}+3-(x^{2}+1)\Bigr]\,dx =\int_{-2}^{2}\bigl(-\tfrac12x^{2}+2\bigr)\,dx.
Integramos:
\int(-\tfrac12x^{2}+2)\,dx =-\tfrac16x^{3}+2x,
avaliando de -2 a 2
\bigl(-\tfrac{8}{6}+4\bigr)-\bigl(\tfrac{8}{6}-4\bigr) =\tfrac{16}{3}.

Resposta

1(a) \displaystyle \tfrac{125}{6}.
1(b) \displaystyle \tfrac{16}{3}.

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