- Utilize a integral dupla para determinar a área da região:
(a) limitada por
e
.
(b) limitada por
e
.
- Utilize a integral dupla para determinar o volume da região:
(a) que está entre o plano
e
e está acima da região no plano
que é limitada por
e
.
(b) que está entre o plano
e
e está acima da região no plano
que é limitada por
e o eixo-
.
(c) no primeiro octante que está abaixo do plano
.
(d) limitada por
, a superfície
e os planos
e
.
(e) limitada pelos planos
,
e
.
- Utilize a integral dupla para determinar a fórmula da área de um triângulo retângulo de base
e altura
.
- Utilize a integral dupla para obter a área de um disco de raio
.
- Utilize a integral dupla para determinar a área da região que está dentro de
.
(a) limitada por
(b) limitada por
(a) que está entre o plano
(b) que está entre o plano
(c) no primeiro octante que está abaixo do plano
(d) limitada por
(e) limitada pelos planos
Passo 1
O enunciado 1 pede áreas de duas regiões planas usando integrais duplas. Em (a) a fronteira é dada pelas curvas
e em (b) pelas curvas
Para cada caso identificamos a projeção
no plano
, escrevemos a integral dupla sobre
com integrando
e calculamos.
Passo 2
Para 1(a) determinamos primeiro os pontos de interseção resolvendo
Então a projeção
é
A área é
Calculando:
avaliando de
a
:
Passo 3
Para 1(b) achamos as interseções por
Nesse intervalo
está acima de
, logo
A área é
Integramos:
avaliando de
a
dá
Resposta
1(a)
1(b)
1(b)