Utilize a integral dupla para determinar o volume do sólido:
limitado por z=12-3 x^{2}-3 y^{2} e z=x^{2}+y^{2}-8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z_{1}(x,y)=12-3x^{2}-3y^{2}
e
z_{2}(x,y)=x^{2}+y^{2}-8.
O conteúdo é cálculo de volume por integral dupla, e vamos precisar encontrar a projeção no plano xy onde z_{1}\ge z_{2} e usar coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Para achar a região de projeção R, igualamos as duas superfícies:
12-3r^{2} \;=\; r^{2}-8,
onde r^{2}=x^{2}+y^{2}. Isso dá
4r^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad 0\le r\le\sqrt{5},\; 0\le \theta\le2\pi.

Passo 3

O volume é
V =\iint_{R}\bigl(z_{1}(x,y)-z_{2}(x,y)\bigr)\,dA =\iint_{R}\bigl[(12-3x^{2}-3y^{2})-(x^{2}+y^{2}-8)\bigr]\,dA =\iint_{R}(20-4(x^{2}+y^{2}))\,dA.

Passo 4

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
V =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}\bigl(20-4r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{5}}(20r-4r^{3})\,dr =\Bigl[10r^{2}-r^{4}\Bigr]_{0}^{\sqrt{5}} =10\cdot5-25=50-25=25.
Em seguida,
V =\int_{0}^{2\pi}25\,d\theta =25\cdot2\pi =50\pi.

Resposta

O volume do sólido é 50\pi.

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