Utilize a integral dupla para determinar o volume do sólido:
que está abaixo de z=9-4 x^{2}-4 y^{2} e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo da superfície \displaystyle z=9-4x^{2}-4y^{2} e acima do plano xy (isto é, z=0). Vamos usar integral dupla em coordenadas polares, pois a região projetada no plano xy é circular devido ao termo x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Para ficar acima do plano z=0, precisamos de
9 - 4(x^{2}+y^{2}) \ge 0
ou seja
x^{2}+y^{2} \le \frac{9}{4}.
Em coordenadas polares isso vira \displaystyle r^{2}\le \tfrac{9}{4}, logo 0\le r\le \tfrac{3}{2} e 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(9 - 4(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA.
Em polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta, então
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3/2} \bigl(9 - 4r^{2}\bigr)\,r \,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{3/2} \bigl(9r - 4r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{9}{2}r^{2} - r^{4}\right]_{0}^{3/2} = \frac{9}{2}\cdot\frac{9}{4} \;-\;\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{4} = \frac{81}{8} \;-\;\frac{81}{16} = \frac{81}{16}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{81}{16}\,d\theta = \frac{81}{16}\cdot 2\pi = \frac{81\pi}{8}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{81\pi}{8}.

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