Utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
5. \mathbf{F}=\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{j}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{k}
C : O quadrado limitado pelas retas x=\pm 1 e y=\pm 1 no plano x y, no sentido anti-horário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação de \mathbf{F} ao longo de C orientado no sentido anti-horário visto de cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é uma superfície qualquer com fronteira C e \mathbf{n} é o versor normal compatível com a orientação de C.

Passo 2

Escolhemos S como o quadrado no plano xy dado por -1\le x\le1, -1\le y\le1, com z=0. A orientação anti-horário visto de cima corresponde ao versor normal \mathbf{n}=\mathbf{k}.

Passo 3

Precisamos de \nabla\times\mathbf{F}. Como
\mathbf{F} =\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\mathbf{i} +\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\mathbf{j} +\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\mathbf{k},
calculamos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y^2+z^2&x^2+y^2&x^2+y^2 \end{vmatrix} =\langle2y,\;2z-2x,\;2x-2y\rangle.

Passo 4

Na superfície S temos z=0, logo
(\nabla\times\mathbf{F})\bigl|_{z=0} =\langle2y,\,-2x,\;2x-2y\rangle.
Como \mathbf{n}=\mathbf{k}, o produto escalar fica
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} =2x-2y.

Passo 5

Agora integramos sobre o quadrado R=[-1,1]\times[-1,1]:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{R}(2x-2y)\,dx\,dy =2\iint_{R}x\,dx\,dy-2\iint_{R}y\,dx\,dy.
Mas
\iint_{R}x\,dx\,dy =\Bigl(\int_{-1}^{1}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dy\Bigr)=0,
\iint_{R}y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{-1}^{1}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{-1}^{1}dx\Bigr)=0.
Portanto a circulação é zero.

Resposta

A circulação de \mathbf{F} ao redor de C é 0.

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