1. Seja C uma curva lisa fechada simples no plano 2 x+2 y+z=2, orientada conforme mostrado aqui. Mostre que
\oint_{C} 2 y d x+3 z d y-x d z
depende somente da área da região delimitada por C e não da posição ou formato de C.

Passo 1

O enunciado dá a curva fechada simples C contida no plano
2x+2y+z=2
e pede para mostrar que
\oint_{C}2y\,dx+3z\,dy -x\,dz
depende apenas da área da região D delimitada por C. Para isso vamos usar o Teorema de Stokes, pois ele relaciona a integral de linha fechada ao fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície S qualquer limitada por C.

Passo 2

Seja \mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R)=(2y,\,3z,\,-x). O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície lisa S com fronteira C orientada conforme C,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Calculemos o rotacional de \mathbf{F}:
\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\\ 2y&3z&-x \end{vmatrix} = \bigl(\partial_y(-x)-\partial_z(3z),\;\partial_z(2y)-\partial_x(-x),\;\partial_x(3z)-\partial_y(2y)\bigr),
portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(-3,\;1,\;-2),
que é constante.

Passo 4

O plano 2x+2y+z=2 tem normal não unitário \mathbf{N}=(2,2,1). Escolhendo o sentido de \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{N}/\|\mathbf{N}\| compatível com a orientação de C, temos
\hat{\mathbf{n}}=\frac{(2,2,1)}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} =\frac{(2,2,1)}{3}.

Passo 5

Como \nabla\times\mathbf{F} é constante e \hat{\mathbf{n}} também é constante sobre S,
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =(\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}) \iint_{S}dS =(\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}})\,\mathrm{Área}(D).Á
E
\nabla\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} =(-3,1,-2)\cdot\frac{(2,2,1)}{3} =\frac{-6+2-2}{3} =-2.

Passo 6

Logo, pelo Teorema de Stokes,
\oint_{C}2y\,dx+3z\,dy-x\,dz =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =-2\,\mathrm{Área}(D).Á
Como este valor só envolve a área de D, concluímos que a integral de linha depende apenas da área e não da posição nem do formato de C.

Resposta

\oint_{C}2y\,dx+3z\,dy-x\,dz =-2\,\text{Área}(D),Á
isto é, depende somente da área da região delimitada por C.

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