Utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo
através da superfície
na direção da normal unitária exterior
.
17.
S: \mathbf{r}(\varphi, \theta)=(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \cos \theta) \mathbf{i}+(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta) \mathbf{j}+)
17.
S: \mathbf{r}(\varphi, \theta)=(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \cos \theta) \mathbf{i}+(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta) \mathbf{j}+)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da meia-esfera de raio
dada por
com
,
, usando a normal unitária exterior. Vamos usar diretamente a parametrização para calcular
Passo 2
Calculamos o rotacional de
.
Passo 3
Obtivemos
e
, daí
que aponta para fora (normal exterior) e seu módulo já está embutido neste vetor.
Passo 4
O integrando fica
Logo o fluxo é
Passo 5
Calculamos
Portanto o fluxo vale
Resposta
O fluxo de
através de
na direção da normal exterior é