Utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo \mathbf{F} através da superfície S na direção da normal unitária exterior \mathbf{n}.
17. \mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+(5-2 x) \mathbf{j}+\left(z^{2}-2\right) \mathbf{k}
S: \mathbf{r}(\varphi, \theta)=(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \cos \theta) \mathbf{i}+(\sqrt{3} \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta) \mathbf{j}+) (\sqrt{3} \cos \varphi) \mathbf{k}, \quad 0 \leq \varphi \leq \pi / 2, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \nabla\times \mathbf{F} através da meia-esfera de raio \sqrt{3} dada por
\mathbf{r}(\varphi,\theta) = (\sqrt{3}\sin\varphi\cos\theta)\,\mathbf{i} +(\sqrt{3}\sin\varphi\sin\theta)\,\mathbf{j} +(\sqrt{3}\cos\varphi)\,\mathbf{k},
com 0\le\varphi\le\pi/2, 0\le\theta\le2\pi, usando a normal unitária exterior. Vamos usar diretamente a parametrização para calcular
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\bigl(\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta\bigr)\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F}=3y\,\mathbf{i}+(5-2x)\,\mathbf{j}+(z^2-2)\,\mathbf{k}.
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial}{\partial y}(z^2-2)-\frac{\partial}{\partial z}(5-2x),\; \frac{\partial}{\partial z}(3y)-\frac{\partial}{\partial x}(z^2-2),\; \frac{\partial}{\partial x}(5-2x)-\frac{\partial}{\partial y}(3y)\Bigr) =(0,0,-5).

Passo 3

Obtivemos \mathbf{r}_\varphi e \mathbf{r}_\theta, daí
\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta =(3\sin^2\varphi\cos\theta,\;3\sin^2\varphi\sin\theta,\;3\sin\varphi\cos\varphi),
que aponta para fora (normal exterior) e seu módulo já está embutido neste vetor.

Passo 4

O integrando fica
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{r}_\varphi\times\mathbf{r}_\theta) =(0,0,-5)\cdot(3\sin^2\varphi\cos\theta,\;3\sin^2\varphi\sin\theta,\;3\sin\varphi\cos\varphi) =-15\,\sin\varphi\cos\varphi.
Logo o fluxo é
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2} (-15\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi\,d\theta =-15\biggl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\biggr) \biggl(\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\biggr).

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\varphi)\,d\varphi =\frac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2\varphi)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac12=\frac14.
Portanto o fluxo vale
-15\cdot 2\pi\cdot\frac14=-15\pi.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\mathbf{F} através de S na direção da normal exterior é
-15\pi.

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