Seja a curva
parametrizada por
. Calcule o comprimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva
que está parametrizada pela função
no intervalo de
de 0 a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas no espaço tridimensional, que envolve calcular a integral da norma da derivada da parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar cada componente de
separadamente.
Dada:
Vamos derivar cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, a derivada
é:
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada no espaço tridimensional:
Onde
é a norma do vetor derivada, que se calcula da seguinte forma:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando tudo:
Sabemos que
, então:
Portanto, a norma fica:
Passo 4
Agora, substituímos a norma na fórmula do comprimento:
Vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a
:
Então, o comprimento é:
Resposta
O comprimento da curva
é
.