Seja a curva C parametrizada por sigma(t) = (t^2, sen(x) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)), 0 <= t <= pi. Calcule o comprimento de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva que está parametrizada pela função no intervalo de de 0 a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas no espaço tridimensional, que envolve calcular a integral da norma da derivada da parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar cada componente de separadamente.
Dada:
Vamos derivar cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada no espaço tridimensional:
Onde é a norma do vetor derivada, que se calcula da seguinte forma:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando tudo:
Sabemos que , então:
Portanto, a norma fica:

Passo 4

Agora, substituímos a norma na fórmula do comprimento:
Vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a :
Então, o comprimento é:

Resposta

O comprimento da curva é .

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