Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Encontre a solução geral de
.
Encontre a solução geral de
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a equação diferencial ordinária
Temos a equação diferencial ordinária
O que nos pedem: encontrar a solução geral
dessa equação, ou seja, uma família de soluções que contém as constantes arbitrárias necessárias.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- A equação é linear e de coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçante) é
. - Precisamos da solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (isso nos dá a parte complementar da solução geral).\n
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para resolver, usamos a equação característica: assumimos uma solução do tipo
e obtemos
Resolvendo,
Raízes complexas conjugadas
correspondem às soluções reais
e
. Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta (didática): as raízes
indicam comportamento oscilatório com frequência
, por isso aparecem
e
.
Passo 3
Breve explicação do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) — por que e como escolher a forma tentativa da solução particular.\n
Ideia geral: como a equação é linear e tem coeficientes constantes, se o termo for uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos, então podemos tentar uma solução particular com a mesma forma (mesma “família”) mas com constantes desconhecidas que vamos determinar. Procedimento:
Ideia geral: como a equação é linear e tem coeficientes constantes, se o termo for uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos, então podemos tentar uma solução particular com a mesma forma (mesma “família”) mas com constantes desconhecidas que vamos determinar. Procedimento:
- Escolher uma forma tentativa
com coeficientes desconhecidos (por exemplo se a forçante for ). - Se a forma escolhida coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplicamos a tentativa por
(ou por onde é o menor inteiro que remove a duplicação) para obter uma forma independente. - Substituir
na equação e igualar coeficientes para determinar as constantes.
No nosso caso a forçante é
, que tem frequência
. A frequência da homogênea é
, diferente, então NÃO há ressonância. Portanto a forma tentativa será simples.
Passo 4
Escolher a forma tentativa para a solução particular e definir as constantes a determinar.\n
Como a forçante é , tentamos
Como a forçante é
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar. (Aqui explicito:
e
são números reais, não funçôes de
.)
Passo 5
Calcular as derivadas de
passo a passo (para substituir na equação):\n
Derivando termo a termo,
Derivando termo a termo,
Outra derivada,
Mostro como obtive isso: por exemplo, derivada de
é
(regra da cadeia) e derivada de
é
.
Passo 6
Substituir
e
na equação e igualar coeficientes para encontrar
e
.\n
Substituindo em :
Substituindo em
Agrupando termos semelhantes:
Ou seja,
Como a igualdade vale para todo
, os coeficientes de
e de
devem coincidir separadamente. Assim obtemos o sistema linear para
e
:
Daí
Passo 7
Construir a solução particular e a solução geral; verificar rapidamente.\n
Com e
, a solução particular é
Com
Verificação rápida (cheque): calcular
:
logo
conferindo que
funciona.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: