Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Encontre a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\sin (2 x).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Temos a equação diferencial ordinária
y'' + y = \sin(2x).
O que nos pedem: encontrar a solução geral y(x) dessa equação, ou seja, uma família de soluções que contém as constantes arbitrárias necessárias.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A equação é linear e de coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçante) é \sin(2x).
  • Precisamos da solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (isso nos dá a parte complementar da solução geral).\n
A equação homogênea é
y'' + y = 0.
Para resolver, usamos a equação característica: assumimos uma solução do tipo \mathrm{e}^{rx} e obtemos
r^{2} + 1 = 0.
Resolvendo,
r = \pm i.
Raízes complexas conjugadas r=\pm i correspondem às soluções reais \cos x e \sin x. Logo, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação curta (didática): as raízes r=\pm i indicam comportamento oscilatório com frequência 1, por isso aparecem \cos x e \sin x.

Passo 3

Breve explicação do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) — por que e como escolher a forma tentativa da solução particular.\n
Ideia geral: como a equação é linear e tem coeficientes constantes, se o termo for uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos, então podemos tentar uma solução particular com a mesma forma (mesma “família”) mas com constantes desconhecidas que vamos determinar. Procedimento:
  1. Escolher uma forma tentativa y_{p} com coeficientes desconhecidos (por exemplo A\cos(2x)+B\sin(2x) se a forçante for \sin(2x)).
  2. Se a forma escolhida coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplicamos a tentativa por x (ou por x^{s} onde s é o menor inteiro que remove a duplicação) para obter uma forma independente.
  3. Substituir y_{p} na equação e igualar coeficientes para determinar as constantes.
No nosso caso a forçante é \sin(2x), que tem frequência 2. A frequência da homogênea é 1, diferente, então NÃO há ressonância. Portanto a forma tentativa será simples.

Passo 4

Escolher a forma tentativa para a solução particular e definir as constantes a determinar.\n
Como a forçante é \sin(2x), tentamos
y_{p}(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes desconhecidas a determinar. (Aqui explicito: A e B são números reais, não funçôes de x.)

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p} passo a passo (para substituir na equação):\n
Derivando termo a termo,
y_{p}'(x) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x).
Outra derivada,
y_{p}''(x) = -4A\cos(2x) -4B\sin(2x).
Mostro como obtive isso: por exemplo, derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x) (regra da cadeia) e derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x).

Passo 6

Substituir y_{p} e y_{p}'' na equação e igualar coeficientes para encontrar A e B.\n
Substituindo em \;y''+y=\sin(2x)\;:
\bigl(-4A\cos(2x) -4B\sin(2x)\bigr) + \bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr) = \sin(2x).
Agrupando termos semelhantes:
(-4A + A)\cos(2x) + (-4B + B)\sin(2x) = \sin(2x).
Ou seja,
-3A\cos(2x) -3B\sin(2x) = \sin(2x).
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de \cos(2x) e de \sin(2x) devem coincidir separadamente. Assim obtemos o sistema linear para A e B:
-3A = 0,
-3B = 1.
Daí
A = 0,\qquad B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Construir a solução particular e a solução geral; verificar rapidamente.\n
Com A=0 e B=-\tfrac{1}{3}, a solução particular é
y_{p}(x) = -\tfrac{1}{3}\sin(2x).
Verificação rápida (cheque): calcular y_{p}''+y_{p}:
y_{p}'' = -4\bigl(-\tfrac{1}{3}\sin(2x)\bigr) = \tfrac{4}{3}\sin(2x),
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y_{p}'' + y_{p} = \tfrac{4}{3}\sin(2x) - \tfrac{1}{3}\sin(2x) = \sin(2x),
conferindo que y_{p} funciona.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x - \tfrac{1}{3}\sin(2x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x - \tfrac{1}{3}\sin(2x)

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