Resolva y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 \operatorname{com} y(0)=2 e y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais abaixo:
y'' - 6y' + 9y = 0,
com
y(0)=2\quad\text{e}\quad y'(0)=0.
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em x=0. A tarefa é achar a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições.

Passo 2

Procuramos soluções da forma exponencial porque é o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Ou seja, tentamos uma solução do tipo
y = e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. A ideia é substituir y=e^{rx} na equação e obter uma equação algébrica para r (a equação característica).

Passo 3

Calculemos as derivadas de y=e^{rx}:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{rx} -6 r e^{rx} + 9 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^2 -6r +9 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \;r^2 -6r +9 = 0\; vemos que é um quadrado perfeito:
r^2 -6r +9 = (r-3)^2 = 0,
logo a raiz é r=3 com multiplicidade 2. Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade 2, a forma geral da solução da equação diferencial é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (essas constantes serão determinadas pelas condições iniciais). Breve explicação do porquê: a primeira solução é e^{3x}; a segunda solução independente linearmente é x e^{3x} quando a raiz é dupla.

Passo 5

Agora precisamos aplicar as condições iniciais, então vamos calcular y'(x). Usamos a regra do produto para derivar \;y(x)=\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{3x}:
Primeiro escrevemos
y(x) = u(x)\,v(x)\quad\text{com}\quad u(x)=C_1 + C_2 x,\; v(x)=e^{3x}.
A derivada é
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calculando as derivadas de u e v:
u'(x)=C_2,\qquad v'(x)=3e^{3x}.
Substituindo:
y'(x)=C_2 e^{3x} + (C_1 + C_2 x)\,3e^{3x}.
Colocando em fator comum e^{3x}:
y'(x)=e^{3x}\bigl(C_2 + 3C_1 + 3C_2 x\bigr).
Ou, reorganizando,
y'(x)=e^{3x}\bigl(3C_1 + C_2(1+3x)\bigr).

Passo 6

Aplique as condições iniciais:
Primeiro, y(0)=2. Avaliando y(x) em x=0:
y(0)=(C_1 + C_2\cdot 0)e^{0}=C_1.
Logo
C_1 = 2.
Agora use y'(0)=0. Avaliando y'(x) em x=0:
y'(0)=e^{0}\bigl(3C_1 + C_2(1+0)\bigr)=3C_1 + C_2.
Substituindo C_1=2:
y'(0)=3\cdot 2 + C_2 = 6 + C_2.
Mas y'(0)=0, então
6 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -6.

Passo 7

Substituímos C_1 e C_2 na solução geral:
y(x)=\bigl(2 - 6x\bigr)e^{3x}.
Podemos também factorar 2 se quisermos:
y(x)=2\bigl(1 - 3x\bigr)e^{3x}.
Essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Força aí — essa técnica de raízes da equação característica e multiplicidade é uma ferramenta poderosa e aparece muito em provas!

Resposta

y(x)=(2-6x)e^{3x}

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