Resolva
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais abaixo:
com
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em
. A tarefa é achar a solução
que satisfaz a equação e as condições.
Passo 2
Procuramos soluções da forma exponencial porque é o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes. Ou seja, tentamos uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. A ideia é substituir
na equação e obter uma equação algébrica para
(a equação característica).
Passo 3
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
vemos que é um quadrado perfeito:
logo a raiz é
com multiplicidade
. Quando a equação característica tem uma raiz real de multiplicidade
, a forma geral da solução da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes serão determinadas pelas condições iniciais). Breve explicação do porquê: a primeira solução é
; a segunda solução independente linearmente é
quando a raiz é dupla.
Passo 5
Agora precisamos aplicar as condições iniciais, então vamos calcular
. Usamos a regra do produto para derivar
:
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
A derivada é
Calculando as derivadas de
e
:
Substituindo:
Colocando em fator comum
:
Ou, reorganizando,
Passo 6
Aplique as condições iniciais:
Primeiro, . Avaliando
em
:
Primeiro,
Logo
Agora use
. Avaliando
em
:
Substituindo
:
Mas
, então
Passo 7
Substituímos
e
na solução geral:
Podemos também factorar
se quisermos:
Essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Força aí — essa técnica de raízes da equação característica e multiplicidade é uma ferramenta poderosa e aparece muito em provas!