Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Resolva y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 x e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial e, em particular, encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. A equação dada é:
y''-2y'-3y=3x e^{-x}.
Informações relevantes:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo fonte (lado direito) é 3x e^{-x}, ou seja, um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{-x}.
  • O objetivo principal pedido é obter uma solução particular y_p(x); como normalmente fazemos, depois podemos combinar com a solução da homogênea para ter a solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (isso é necessário para aplicar corretamente o método dos coeficientes a determinar):
y''-2y'-3y=0.
A equação característica é
r^2-2r-3=0.
Vamos resolver essa quadrática. Podemos fatorar:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1).
Portanto as raízes são r=3 e r=-1. Como são duas raízes reais distintas, a solução complementar (homogênea) é
y_c(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora uma mini-aula rápida sobre o método dos coeficientes a determinar (pra você entender o porquê do palpite para y_p):
  • Quando o termo não-homogêneo é da forma P_n(x)e^{\alpha x}, onde P_n é um polinômio de grau n, tentamos um palpite (ansatz) do tipo e^{\alpha x} Q_n(x), com Q_n polinômio de mesmo grau n com coeficientes a determinar.
  • Contudo, se \alpha é raiz da equação característica da homogênea de multiplicidade m, então multiplicamos o ansatz por x^m (para evitar redundância com a solução homogênea). Isso é a regra de ressonância.
  • No nosso caso o termo é 3x e^{-x}. Aqui \alpha=-1 e P_1(x)=3x (grau n=1). Como \alpha=-1 é raiz da característica (vemos no Passo 2) de multiplicidade m=1, devemos multiplicar o ansatz por x^1.

Passo 4

Seguindo a regra, o ansatz não-resonante seria e^{-x}(A x+B). Como há ressonância de ordem 1, multiplicamos por x e obtemos
y_p(x)=e^{-x}\big(A x^2+B x\big),
onde A e B são constantes a determinar. (Observe que A x^2 + B x é um polinômio de grau 2, resultado de multiplicar x pelo polinômio de grau 1.)

Passo 5

Vamos calcular y_p'. Para facilitar, defina u(x)=A x^2+B x, então y_p=e^{-x}u. Usando a regra do produto e a derivada de e^{-x} temos
y_p'=e^{-x}(u'-u).
Calcule u':
u'(x)=2A x + B.
Logo
y_p' = e^{-x}\big((2A x + B) - (A x^2 + B x)\big).
Simplificando o polinômio dentro do parêntese:
y_p' = e^{-x}\big(-A x^2 + (2A-B)x + B\big).

Passo 6

Agora calculamos y_p''. Denote v(x)=-A x^2 + (2A-B)x + B, então y_p'=e^{-x}v e novamente
y_p''=e^{-x}(v'-v).
Calcule v':
v'(x)=-2A x + (2A-B).
Portanto
y_p''=e^{-x}\big((-2A x + 2A - B) - (-A x^2 + (2A-B)x + B)\big).
Agora simplificamos o polinômio:
  • termo x^2: +A x^2,
  • termo x: -2A x - (2A-B)x = (-4A + B)x,
  • termo constante: 2A - B - B = 2A -2B.
Assim
y_p''=e^{-x}\big(A x^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B)\big).

Passo 7

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial à esquerda L[y]=y''-2y'-3y. Como todos os termos têm fator e^{-x}, podemos fatorar e^{-x} e trabalhar apenas com os polinômios:
L[y_p]=e^{-x}\Big(\underbrace{A x^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B)}_{y_p''\text{ (pol.)}} -2\underbrace{(-A x^2 + (2A-B)x + B)}_{y_p'\text{ (pol.)}} -3\underbrace{(A x^2 + B x)}_{y_p\text{ (pol.)}}\Big).
Agora somamos os polinômios termo a termo:
  • Coeficiente de x^2: A -2(-A) -3A = A + 2A -3A = 0. (Isso era esperado: a ressonância faz com que o termo x^2 desapareça.)
  • Coeficiente de x: (-4A + B) -2(2A-B) -3B = -4A + B -4A +2B -3B = -8A.
  • Termo constante: (2A -2B) -2B -0 = 2A -4B.
Portanto
L[y_p]=e^{-x}\big(-8A x + (2A -4B)\big).

Passo 8

A equação original exige L[y_p]=3x e^{-x}. Igualando os dois lados (dividindo por e^{-x}, que nunca é zero) obtemos a igualdade de polinômios:
-8A x + (2A -4B)=3x + 0.
Comparando coeficientes de x e do termo constante:
\begin{cases} -8A = 3,\\[4pt] 2A -4B = 0. \end{cases}
Da primeira equação
A=-\dfrac{3}{8}.
Da segunda,
2\left(-\dfrac{3}{8}\right)-4B=0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3}{4}-4B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-\dfrac{3}{16}.]

Passo 9

Com A e B encontrados, a solução particular é
y_p(x)=e^{-x}\Big(-\dfrac{3}{8}x^2 -\dfrac{3}{16}x\Big).
Podemos fatorar para ficar mais compacto:
y_p(x)=-\dfrac{3}{16}e^{-x}\big(2x^2+x\big).
A solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular:
y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-\dfrac{3}{16}e^{-x}\big(2x^2+x\big).

Resposta

y_p(x)=-\dfrac{3}{16}e^{-x}\big(2x^2+x\big)
y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-\dfrac{3}{16}e^{-x}\big(2x^2+x\big)

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