Utilize o método de indução matemática para demonstrar que, para todo número inteiro n \geq 0, vale a identidade
\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n} d x=n!
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando indução matemática, que para todo inteiro n\ge 0 vale a identidade
\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n}\,dx = n!.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A integral imprópria é \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n}\,dx.
A igualdade a ser mostrada relaciona essa integral com o fatorial n!.
A demonstração pedida deve usar o princípio da indução matemática e deve valer para todo inteiro n\ge 0.
Passo 2
Breve explicação das ferramentas que serão usadas (bem mastigada):
Definição de fatorial: para inteiro n\ge 1, n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n. Por convenção 0! = 1.
Princípio da indução matemática: para provar que uma propriedade P(n) vale para todo inteiro n\ge 0, procede-se em duas etapas:
Base da indução: provar P(0) (ou P(1) conforme o caso).
Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para um k\ge 0 arbitrário (hipótese de indução) e provar que então P(k+1) também é verdadeira.
Se esses dois passos são feitos, conclui-se que P(n) vale para todo n\ge 0.
Fórmula de integração por partes (que vamos usar para reduzir a potência x^{n} para x^{n-1}):\int u\,dv = uv - \int v\,du,onde u e v são funções diferenciáveis e dv é uma diferencial. Na aplicação a integrais impróprias, deve-se avaliar o termo de bordo uv nos limites e verificar que ele é bem comportado (finito ou zero).
Como 0! = 1, a identidade é verdadeira para n=0. Assim a base da indução está estabelecida.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 0 a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que
\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{k}\,dx = k!.
A partir dessa hipótese vamos provar que a mesma relação vale para n=k+1.
Passo 5
Justificação de um termo de bordo que aparecerá: mostrar que
\lim_{x\to\infty} x^{k+1} e^{-x} = 0
e também que
\lim_{x\to 0^{+}} x^{k+1} e^{-x} = 0.
Para x\to 0^{+}: x^{k+1}\to 0 e e^{-x}\to 1, logo o produto tende a 0.
Para x\to\infty: escreva x^{k+1} e^{-x} = \dfrac{x^{k+1}}{e^{x}}. A função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência; formalmente pode-se aplicar a Regra de L’Hôpital sucessivamente k+1 vezes: cada aplicação reduz a potência no numerador em 1 enquanto o denominador permanece e^{x}, até obter algo do tipo \dfrac{C}{e^{x}} que tende a 0. Portanto \lim_{x\to\infty} x^{k+1} e^{-x}=0.
Assim, o termo de bordo x^{k+1} e^{-x} avaliado em 0 e em \infty é zero em ambas as extremidades.
Passo 6
Aplicação da integração por partes à integral para n=k+1.
Escolha as funções para integrar por partes de modo a reduzir a potência:
Tome u = x^{k+1}. Então du = (k+1) x^{k}\,dx.
Tome dv = e^{-x}\,dx. Então v = -e^{-x} (uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}).
A fórmula de integração por partes dá
\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{k+1}\,dx = \left. u v \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du.
Assim provamos que, se a fórmula vale para n=k, então ela vale para n=k+1.
Passo 8
Conclusão por indução. Já provamos a base (n=0) e o passo indutivo (k\to k+1). Pelo princípio da indução matemática segue-se que para todo inteiro n\ge 0