Exercício 0.7. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
Informações dadas:
é a base da potência no membro esquerdo.
aparece no membro direito, e o sinal da inequação é estrito
.
O objetivo é encontrar todos os valores reais de que tornam a desigualdade verdadeira.
O objetivo é encontrar todos os valores reais de
Passo 2
Primeiro simplificar o membro direito escrevendo
como potência de
. Sabendo que
, segue que
Escrever os dois lados com a mesma base facilita comparar as potências.
Passo 3
Agora a inequação ficou
Aqui uso uma propriedade importante das funções exponenciais: quando a base
satisfaz
, a função
é estritamente crescente. Isso quer dizer que, para
,
Breve justificativa intuitiva: para base maior que 1, aumentar o expoente aumenta o valor da potência; formalmente, a derivada
é positiva quando
. No nosso caso
, então podemos comparar diretamente os expoentes.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao passo anterior, a inequação é equivalente a comparar os expoentes:
Passo 5
Resolver a inequação quadrática em
. Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicar por
(lembre: ao multiplicar uma desigualdade por número negativo, o sentido da desigualdade inverte):
Passo 6
Resolver
. Isso significa que o valor absoluto de
é maior que
, então
Como a desigualdade original é estrita, os pontos
e
não pertencem à solução (neles daria igualdade
, mas queremos estritamente menor).
Passo 7
Checagem rápida com exemplos para dar confiança:
, então
— a desigualdade fica verdadeira.
, então
— a desigualdade fica falsa.
Esses testes confirmam que a solução obtida faz sentido.
Esses testes confirmam que a solução obtida faz sentido.