Exercício 0.7. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
3^{5-x^{2}}<\frac{1}{81}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
3^{5 - x^{2}} < \frac{1}{81}.
Informações dadas:
\;3 é a base da potência no membro esquerdo.
\;81 aparece no membro direito, e o sinal da inequação é estrito (<).
O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro simplificar o membro direito escrevendo 81 como potência de 3. Sabendo que 81 = 3^{4}, segue que
\frac{1}{81} = 3^{-4}.
Escrever os dois lados com a mesma base facilita comparar as potências.

Passo 3

Agora a inequação ficou
3^{5 - x^{2}} < 3^{-4}.
Aqui uso uma propriedade importante das funções exponenciais: quando a base a satisfaz a>1, a função t \mapsto a^{t} é estritamente crescente. Isso quer dizer que, para a>1,
a^{u} < a^{v} \quad\Longleftrightarrow\quad u < v.
Breve justificativa intuitiva: para base maior que 1, aumentar o expoente aumenta o valor da potência; formalmente, a derivada a^{t}\ln a é positiva quando a>1. No nosso caso a=3>1, então podemos comparar diretamente os expoentes.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao passo anterior, a inequação é equivalente a comparar os expoentes:
5 - x^{2} < -4.

Passo 5

Resolver a inequação quadrática em x. Subtraindo 5 dos dois lados:
- x^{2} < -9.
Multiplicar por -1 (lembre: ao multiplicar uma desigualdade por número negativo, o sentido da desigualdade inverte):
x^{2} > 9.

Passo 6

Resolver x^{2} > 9. Isso significa que o valor absoluto de x é maior que 3, então
x < -3 \quad\text{ou}\quad x > 3.
Como a desigualdade original é estrita, os pontos x=-3 e x=3 não pertencem à solução (neles daria igualdade 3^{5-9}=3^{-4}, mas queremos estritamente menor).

Passo 7

Checagem rápida com exemplos para dar confiança:
\;x=4\Rightarrow 5-x^{2}=5-16=-11, então 3^{-11}<3^{-4} — a desigualdade fica verdadeira.
\;x=0\Rightarrow 5-x^{2}=5, então 3^{5}>3^{-4} — a desigualdade fica falsa.
Esses testes confirmam que a solução obtida faz sentido.

Resposta

\;(-\infty,-3)\cup(3,\infty)

Exercícios relacionados