Exercício 0.7. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
Informações importantes dadas:
- A base da potência é
. - O lado direito é
. - A incógnita é
(procuramos todos os que satisfazem a desigualdade).
Passo 2
Uma observação útil:
pode ser escrito como potência de qualquer base positiva, em particular
Portanto a inequação pode ser reescrita como
Passo 3
Agora precisamos comparar duas potências com a mesma base positiva
. Importante saber o comportamento da função
:
- Se
, a função é crescente: maiores expoentes dão valores maiores. - Se
, a função é decrescente: maiores expoentes dão valores menores.
Aqui a base é
, que satisfaz
. Logo a função é decrescente. Para uma função decrescente
, a desigualdade
implica
. Aplicando isso aos expoentes obtemos:
Passo 4
Resolver a inequação linear
passo a passo:
somando
em ambos os lados,
dividindo por
(número positivo, logo o sinal não muda),
Passo 5
Verificação rápida para ganhar confiança:
- Para
, o expoente é e a potência vale , então a desigualdade fica (verdadeira). - Para
(que está na solução), o expoente é e (verdadeiro). - Para
(que não está na solução), o expoente é e (falso).
Tudo consistente com
.