Exercício 0.7. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
\left(\frac{1}{3}\right)^{3 x-1} \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
\left(\frac{1}{3}\right)^{3x-1} \geq 1.
Informações importantes dadas:
  • A base da potência é \dfrac{1}{3}.
  • O lado direito é 1.
  • A incógnita é x (procuramos todos os x que satisfazem a desigualdade).

Passo 2

Uma observação útil: 1 pode ser escrito como potência de qualquer base positiva, em particular
1=\left(\frac{1}{3}\right)^{0}.
Portanto a inequação pode ser reescrita como
\left(\frac{1}{3}\right)^{3x-1} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{0}.

Passo 3

Agora precisamos comparar duas potências com a mesma base positiva \dfrac{1}{3}. Importante saber o comportamento da função t\mapsto a^{t}:
  • Se a>1, a função é crescente: maiores expoentes dão valores maiores.
  • Se 0<a<1, a função é decrescente: maiores expoentes dão valores menores.
Aqui a base é a=\dfrac{1}{3}, que satisfaz 0<a<1. Logo a função é decrescente. Para uma função decrescente f, a desigualdade f(u)\ge f(v) implica u\le v. Aplicando isso aos expoentes obtemos:
3x-1 \le 0.

Passo 4

Resolver a inequação linear 3x-1 \le 0 passo a passo:
3x-1 \le 0
somando 1 em ambos os lados,
3x \le 1,
dividindo por 3 (número positivo, logo o sinal não muda),
x \le \frac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida para ganhar confiança:
  • Para x=\dfrac{1}{3}, o expoente é 3\cdot\dfrac{1}{3}-1=0 e a potência vale 1, então a desigualdade fica 1\ge1 (verdadeira).
  • Para x=0 (que está na solução), o expoente é -1 e \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-1}=3\ge1 (verdadeiro).
  • Para x=1 (que não está na solução), o expoente é 2 e \left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9}<1 (falso).
Tudo consistente com x\le\dfrac{1}{3}.

Resposta

x \le \dfrac{1}{3}

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