Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^{-5} para os problemas a seguir.
\ln (x-1)+\cos (x-1)=0 \quad para 1,3 \leq x \leq 2

Passo 1

O problema pede para encontrar uma solução de
\ln(x-1) + \cos(x-1) = 0
no intervalo 1{,}3 \le x \le 2 usando o método de Newton com precisão de 10^{-5}. O conteúdo principal é o método iterativo de Newton para resolver equações não lineares.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \ln(x-1) + \cos(x-1)
e sua derivada
f'(x) = \frac{1}{x-1} - \sin(x-1).

Passo 3

O método de Newton usa a iteração
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Escolhemos o chute inicial x_0 = 1{,}5, que está dentro do intervalo dado.

Passo 4

Aplicando a fórmula, calculamos sucessivas aproximações até que |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}:
Primeira iteração n=0:
f(1{,}5)=\ln(0{,}5)+\cos(0{,}5)\approx -0{,}6931+0{,}8776=0{,}1845,
f'(1{,}5)=2-\sin(0{,}5)\approx 2-0{,}4794=1{,}5206,
x_1 = 1{,}5 - \frac{0{,}1845}{1{,}5206}\approx 1{,}3786.
Segunda iteração n=1:
f(1{,}3786)\approx -0{,}0418,\quad f'(1{,}3786)\approx 2{,}2721,
x_2 = 1{,}3786 - \frac{-0{,}0418}{2{,}2721}\approx 1{,}3970.
Terceira iteração n=2:
f(1{,}3970)\approx -0{,}0024,\quad f'(1{,}3970)\approx 2{,}1326,
x_3 = 1{,}3970 - \frac{-0{,}0024}{2{,}1326}\approx 1{,}3981.
Quarta iteração n=3:
f(1{,}3981)\approx -0{,}0007,\quad f'(1{,}3981)\approx 2{,}1229,
x_4 = 1{,}3981 - \frac{-0{,}0007}{2{,}1229}\approx 1{,}3984.
Quinta iteração n=4:
f(1{,}3984)\approx -0{,}0001,\quad f'(1{,}3984)\approx 2{,}1205,
x_5 = 1{,}3984 - \frac{-0{,}0001}{2{,}1205}\approx 1{,}39846,
e |x_5 - x_4|\approx 6{,}7\times10^{-5}, ainda maior que 10^{-5}.
Sexta iteração n=5:
f(1{,}39846)\approx -1{,}3\times10^{-5},\quad f'(1{,}39846)\approx 2{,}1200,
x_6 = 1{,}39846 - \frac{-1{,}3\times10^{-5}}{2{,}1200}\approx 1{,}398468,
e agora |x_6 - x_5|\approx 6{,}0\times10^{-6}<10^{-5}. Convergiu.

Resposta

A solução aproximada com precisão 10^{-5} é
x \approx 1{,}39847.

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