Calcule as seguintes integrais:
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
onde
é o triângulo de vértices
,
e
.
Conteúdo: integração dupla sobre região triangular, exigindo descrição de em coordenadas cartesianas e integração iterada.
Conteúdo: integração dupla sobre região triangular, exigindo descrição de
Passo 2
Primeiro, determinamos as equações das arestas de
:
Para cada
,
varia entre a reta
(inferior) e uma das outras duas (superior). A divisão em
e
é natural porque para
o teto é
, e para
o teto é
.
Passo 3
Montamos a integral como soma de duas integrais iteradas:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Aplicando nos limites de cada interna, em ambos os casos obtemos para o integrando em
:
Passo 5
Logo a soma das duas integrais em
torna-se
Passo 6
Calculamos separadamente:
Passo 7
Subtraindo, obtemos