Calcule as seguintes integrais:
\iint_{D} e^{(x-y)} d A, D é o triângulo de vértices (0,0),(1,3) e (2,1).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D}e^{(x-y)}\,dA
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (1,3) e (2,1).
Conteúdo: integração dupla sobre região triangular, exigindo descrição de D em coordenadas cartesianas e integração iterada.

Passo 2

Primeiro, determinamos as equações das arestas de D:
\text{reta }AB:\;A(0,0)\to B(1,3)\implies y=3x,
\text{reta }BC:\;B(1,3)\to C(2,1)\implies y-3=-2(x-1)\implies y=-2x+5,
\text{reta }AC:\;A(0,0)\to C(2,1)\implies y=\tfrac12x.
Para cada x, y varia entre a reta AC (inferior) e uma das outras duas (superior). A divisão em x\in[0,1] e x\in[1,2] é natural porque para 0\le x\le1 o teto é y=3x, e para 1\le x\le2 o teto é y=-2x+5.

Passo 3

Montamos a integral como soma de duas integrais iteradas:
\iint_{D}e^{(x-y)}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{\frac12x}^{3x}e^{x-y}\,dy\,dx +\int_{1}^{2}\!\!\int_{\frac12x}^{-2x+5}e^{x-y}\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int e^{x-y}\,dy =-e^{x-y}+C.
Aplicando nos limites de cada interna, em ambos os casos obtemos para o integrando em x:
\Bigl[-e^{x-y}\Bigr]_{y=\frac12x}^{y=\text{teto}} =-\bigl(e^{x-\text{teto}}-e^{x-\frac12x}\bigr) =e^{x/2}-e^{-2x}.

Passo 5

Logo a soma das duas integrais em x torna-se
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x/2}-e^{-2x}\bigr)\,dx +\int_{1}^{2}\bigl(e^{x/2}-e^{-2x}\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}\bigl(e^{x/2}-e^{-2x}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2}e^{x/2}\,dx =\Bigl[2e^{x/2}\Bigr]_{0}^{2} =2\bigl(e^{1}-1\bigr),
\int_{0}^{2}e^{-2x}\,dx =\Bigl[-\tfrac12e^{-2x}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac12\bigl(1-e^{-4}\bigr).

Passo 7

Subtraindo, obtemos
2\bigl(e-1\bigr) -\tfrac12\bigl(1-e^{-4}\bigr) =2e-2-\tfrac12+\tfrac12e^{-4} =2e-\tfrac{5}{2}+\tfrac{e^{-4}}{2}.

Resposta

\iint_{D}e^{(x-y)}\,dA =2e-\frac{5}{2}+\frac{e^{-4}}{2}.

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