Utilize o método da questão 6 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
y^prime=-y^2+(1+2 e^t) y-e^2 t, com solução particular phi(t)=e^t.

Passo 1

A questão pede a solução geral da EDO do tipo Riccati
y' = -y^2 + (1 + 2e^t)y - e^2t
com a particular phi(t)=e^t. Vamos usar a transformação padrão para Riccati quando conhecemos uma solução particular.

Passo 2

Para resolver Riccati, a gente faz a troca
y(t) = phi(t) + 1u(t)
onde phi(t)=e^t. A ideia é passar de uma equação não linear para uma linear em u.

Passo 3

Calculamos y' e substituímos na EDO:
y = e^t + 1u,
y' = e^t - u'u^2
No lado direito temos
-y^2 + (1+2e^t)y - e^2t = -l(e^t + 1ur)^2 + (1+2e^t)l(e^t + 1ur) - e^2t
Expandindo e simplificando (os termos em e^2t se cancelam) sobra
e^t + 1u - 1u^2
Igualando com y' e cancelando e^t):
e^t - u'u^2 = e^t + 1u - 1u^2
isso leva a
-u'u^2 = 1u - 1u^2 Longrightarrow u' = 1 - u

Passo 4

A equação para u é linear de 1ª ordem:
u' + u = 1
O fator integrante é e^integral1,dt=e^t. Então:
(u e^t)' = e^t Longrightarrow u e^t = e^t + C Longrightarrow u = 1 + C e^-t

Passo 5

Voltando em y = e^t + 1/u, obtemos a solução geral:
y(t) = e^t + 11 + C e^-t

Passo 6

Você pode também escrever de outras formas, por exemplo:
y(t) = e^t + e^te^t + C = e^2t + (C+1)e^te^t + C

Resposta

A solução geral é
y(t) = e^t + 11 + C e^-t,
com C constante arbitrária.

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