Utilize o método da questão 6 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
, com solução particular
.
Passo 1
A questão pede a solução geral da EDO do tipo Riccati
com a particular
. Vamos usar a transformação padrão para Riccati quando conhecemos uma solução particular.
Passo 2
Para resolver Riccati, a gente faz a troca
onde
. A ideia é passar de uma equação não linear para uma linear em
.
Passo 3
Calculamos
e substituímos na EDO:
No lado direito temos
Expandindo e simplificando (os termos em
se cancelam) sobra
Igualando com
e cancelando
:
isso leva a
Passo 4
A equação para
é linear de 1ª ordem:
O fator integrante é
. Então:
Passo 5
Voltando em
, obtemos a solução geral:
Passo 6
Você pode também escrever de outras formas, por exemplo:
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.