Considere um circuito elétrico em série
com
(ohms),
(henries),
(farads) e bateria fornecendo
(volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante
o interruptor é fechado, e no instante
(segundos) ele é aberto e deixado aberto. Encontre a corrente
no circuito no instante
.
Passo 1
A gente tem um circuito série RLC com R=110 Ω, L=1 H e C=0,001 F ligado a uma fonte DC de 90 V. A chave fecha em t=0 (circuito aplica a fonte) e abre em t=1 s (fonte removida). O conteúdo é resposta ao degrau numa malha RLC série e depois resposta natural. Vamos precisar da equação diferencial de segunda ordem, das condições iniciais em t=0 e t=1 e de resolver a equação característica.
Passo 2
Para 0≤t<1 a fonte está aplicada. Escrevemos pela lei de Kirchhoff: L·dI/dt + R·I + (1/C)∫I dt = E. Diferenciando em relação a t surge a equação homogênea de segunda ordem:
Substituindo L=1, R=110 e C=0{,}001:
A equação característica é s^2 +110s+1000=0 com raízes s1=−10 e s2=−100.
Passo 3
No instante t=0 a chave fecha com o circuito sem carga nem corrente: I(0)=0. Além disso, da equação original em t=0: L·dI/dt(0)=E ⇒ dI/dt(0)=90 A/s. Essas são as condições iniciais para a solução.
Passo 4
A solução geral homogênea é
Aplicando I(0)=0 ⇒ A+B=0. E dI/dt(0)=−10A−100B=90 dá, combinando, A=1 e B=−1. Logo,
para 0≤t<1.
Passo 5
Em t=1 s a chave abre e removemos a fonte. A malha continua fechada entre R, L e C, então agora a resposta é natural com as condições iniciais em t=1:
$$dI_2/dt\big|{t=1}=dI_1/dt\big|{t=1}=-10e{-10}+100e{-100}.
$$
Passo 6
A solução para t>1 também é homogênea:
Resolvendo pelas condições em t=1 obtém-se A’=e^{-10} e B’=-e^{-100}, o que leva a
$$I_2(t)=e{-10}e{-10(t-1)}-e{-100}e{-100(t-1)}=e{-10t}-e{-100t}.
$$
Perceba que acaba coincidindo com I_1(t).
Perceba que acaba coincidindo com I_1(t).
Resposta
A corrente é
em amperes, pois o ramo livre após t=1 s mantém a mesma resposta natural do circuito.