Considere um circuito elétrico em série R L C com R=110 Omega (ohms), L=1 H (henries), C=0.001 F (farads) e bateria fornecendo E=90 V (volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante t=0 o interruptor é fechado, e no instante t=1 (segundos) ele é aberto e deixado aberto. Encontre a corrente I(t) no circuito no instante t.

Passo 1

A gente tem um circuito série RLC com R=110 Ω, L=1 H e C=0,001 F ligado a uma fonte DC de 90 V. A chave fecha em t=0 (circuito aplica a fonte) e abre em t=1 s (fonte removida). O conteúdo é resposta ao degrau numa malha RLC série e depois resposta natural. Vamos precisar da equação diferencial de segunda ordem, das condições iniciais em t=0 e t=1 e de resolver a equação característica.

Passo 2

Para 0≤t<1 a fonte está aplicada. Escrevemos pela lei de Kirchhoff: L·dI/dt + R·I + (1/C)∫I dt = E. Diferenciando em relação a t surge a equação homogênea de segunda ordem:
Ld^2Idt^2 + RdIdt + 1CI = 0
Substituindo L=1, R=110 e C=0{,}001:
d^2Idt^2 + 110dIdt + 1000I = 0
A equação característica é s^2 +110s+1000=0 com raízes s1=−10 e s2=−100.

Passo 3

No instante t=0 a chave fecha com o circuito sem carga nem corrente: I(0)=0. Além disso, da equação original em t=0: L·dI/dt(0)=E ⇒ dI/dt(0)=90 A/s. Essas são as condições iniciais para a solução.

Passo 4

A solução geral homogênea é
I1(t)=A e^-10t+B e^-100t
Aplicando I(0)=0 ⇒ A+B=0. E dI/dt(0)=−10A−100B=90 dá, combinando, A=1 e B=−1. Logo,
I1(t)=e^-10t-e^-100t,
para 0≤t<1.

Passo 5

Em t=1 s a chave abre e removemos a fonte. A malha continua fechada entre R, L e C, então agora a resposta é natural com as condições iniciais em t=1:
I2(1)=I1(1)=e^-10-e^-100,
$$dI_2/dt\big|{t=1}=dI_1/dt\big|{t=1}=-10e{-10}+100e{-100}.
$$

Passo 6

A solução para t>1 também é homogênea:
I2(t)=A' e^-10(t-1)+B' e^-100(t-1)
Resolvendo pelas condições em t=1 obtém-se A’=e^{-10} e B’=-e^{-100}, o que leva a
$$I_2(t)=e{-10}e{-10(t-1)}-e{-100}e{-100(t-1)}=e{-10t}-e{-100t}.
$$
Perceba que acaba coincidindo com I_1(t).

Resposta

A corrente é
I(t)=e^-10t-e^-100t(t>=0)
em amperes, pois o ramo livre após t=1 s mantém a mesma resposta natural do circuito.

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