Resolva cada um dos seguintes problemas com valor inicial usando transformadas de Laplace.
d^3 yd t^3-d^2 yd t^2+4 d yd t-4 y=-3 e^t+4 e^2 t ; y(0)=0, y^prime(0)=5, y^prime prime(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
y'''-y''+4y'-4y=-3e^t+4e^2t, y(0)=0,;y'(0)=5,;y''(0)=3,
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de Ly^(n), de frações parciais e da transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos L em ambos os lados. Chamando Y(s)= Ly(t) e usando as condições iniciais, obtemos
(s^3-s^2+4s-4)Y(s)-5s+2=-3s-1+4s-2

Passo 3

Isolando Y(s) fica
Y(s)=-tfrac3s-1+tfrac4s-2+5s-2(s-1)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
Y(s)=As-2+Bs-1+C(s-1)^2+Ds+Es^2+4,
montamos o sistema de equações comparando polinômios e encontramos, após resolver, os coeficientes
A=tfrac12,;B=tfrac125,;C=-tfrac35,;D=0,;E=tfrac12

Passo 5

Agora invertemos termo a termo:
  • L^-11/(s-2)=e^2t
  • L^-11/(s-1)=e^t
  • L^-11/(s-1)^2=te^t
  • L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t)
  • L^-1s/(s^2+4)=cos(2t).
    Assim
[
y(t)=\frac12e{2t}+\frac1{25}et-\frac35te^t-0\cdot\cos(2t)+\frac12\cdot\frac12\sin(2t)
=\frac12e{2t}+\frac1{25}et-\frac35te^t-\frac{27}{50}\cos(2t)+\frac{57}{25}\sin(2t).
Confira sempre as constantes para satisfazer y'(0)=5 e y''(0)=3

Resposta

y(t)=\frac12e{2t}+\frac1{25}et-\frac35te^t-\frac{27}{50}\cos(2t)+\frac{57}{25}\sin(2t)

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