Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
x=y-y^{2} ; x=0 ; 0 \leq y \leq 1 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada por x=y-y^{2}, x=0 e 0\leq y\leq 1.
Informações dadas:
  • Curva direita da região: x=y-y^{2}.
  • Curva esquerda da região: x=0 (o eixo y).
  • Intervalo vertical: y varia em [0,1].
  • Eixo de rotação: eixo y.
  • Pergunta: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

O enunciado pede explicitamente para usar o método das seções transversais (discos/rodas). Vou explicar a ideia com calma:
  • Quando giramos uma região em torno do eixo y, se tomarmos uma fatia fina perpendicular ao eixo y em altura y, essa fatia gera um disco circular ao girar.
  • Cada disco tem espessura infinitesimal \mathrm{d}y e área da face A(y). O volume de uma fatia é aproximadamente A(y)\,\mathrm{d}y.
  • Somando (integrando) essas fatias de y=0 até y=1 obtemos o volume total:
V=\int_{0}^{1} A(y)\,\mathrm{d}y.
Agora preciso encontrar A(y). Para um disco de eixo no y, a área é
A(y)=\pi\big(\text{raio}\big)^{2}.
Qual é o raio aqui? É a distância horizontal do eixo y ( x=0) até a curva mais à direita da região, que é x=y-y^{2}. Então proponho
\text{raio } R(y)=y-y^{2}.
Mas antes de usar isso, verifico se R(y) é não-negativo no intervalo: y-y^{2}=y(1-y), e para 0\le y\le1 temos y(1-y)\ge0. Logo o raio faz sentido e não há furo no disco (é um disco cheio, não um anel).

Passo 3

Com isso, a área da seção transversal em altura y é
A(y)=\pi\big(R(y)\big)^{2}=\pi\big(y-y^{2}\big)^{2}.
Portanto o volume é
V=\int_{0}^{1} \pi\big(y-y^{2}\big)^{2}\,\mathrm{d}y.
Posso tirar o \pi fora da integral:
V=\pi\int_{0}^{1}\big(y-y^{2}\big)^{2}\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Agora calculo a integral passo a passo. Primeiro expando o quadrado:
\big(y-y^{2}\big)^{2}=y^{2}-2y^{3}+y^{4}.
Portanto
V=\pi\int_{0}^{1}\big(y^{2}-2y^{3}+y^{4}\big)\,\mathrm{d}y.
Integro termo a termo usando antiderivadas básicas:
  • Antiderivada de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.
  • Antiderivada de -2y^{3} é -2\cdot\dfrac{y^{4}}{4}=-\dfrac{y^{4}}{2}.
  • Antiderivada de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}.
Assim
\int_{0}^{1}\big(y^{2}-2y^{3}+y^{4}\big)\,\mathrm{d}y =\left[\dfrac{y^{3}}{3}-\dfrac{y^{4}}{2}+\dfrac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalio em y=1 e y=0:
\left(\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{1^{4}}{2}+\dfrac{1^{5}}{5}\right)-0 =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}.
Faço a soma com denominador comum 30:
\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{10-15+6}{30}=\dfrac{1}{30}.
Portanto a integral vale \dfrac{1}{30} e o volume é
V=\pi\cdot \dfrac{1}{30}=\dfrac{\pi}{30}.

Resposta

\dfrac{\pi}{30}

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