Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região limitada por
,
e
.
Informações dadas:
- Curva direita da região:
. - Curva esquerda da região:
(o eixo ). - Intervalo vertical:
varia em . - Eixo de rotação: eixo
. - Pergunta: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
O enunciado pede explicitamente para usar o método das seções transversais (discos/rodas). Vou explicar a ideia com calma:
- Quando giramos uma região em torno do eixo
, se tomarmos uma fatia fina perpendicular ao eixo em altura , essa fatia gera um disco circular ao girar. - Cada disco tem espessura infinitesimal
e área da face . O volume de uma fatia é aproximadamente . - Somando (integrando) essas fatias de
até obtemos o volume total:
Agora preciso encontrar
. Para um disco de eixo no
, a área é
Qual é o raio aqui? É a distância horizontal do eixo
(
) até a curva mais à direita da região, que é
. Então proponho
Mas antes de usar isso, verifico se
é não-negativo no intervalo:
, e para
temos
. Logo o raio faz sentido e não há furo no disco (é um disco cheio, não um anel).
Passo 3
Com isso, a área da seção transversal em altura
é
Portanto o volume é
Posso tirar o
fora da integral:
Passo 4
Agora calculo a integral passo a passo. Primeiro expando o quadrado:
Portanto
Integro termo a termo usando antiderivadas básicas:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Assim
Passo 5
Avalio em
e
:
Faço a soma com denominador comum
:
Portanto a integral vale
e o volume é