Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por
,
e
em torno da reta
. Informações dadas e observações imediatas:
- A curva
pode ser escrita como . - A interseção com
ocorre em e então . - Na reta
temos , então a região ocupa os valores de entre e . - O eixo de rotação é a reta vertical
.
A partir daqui vamos usar o método das seções transversais (fatias) para montar e calcular a integral do volume.
Passo 2
Explicação do método das seções transversais (didática e passo a passo):
- Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical, a maneira natural de cortar a figura por planos perpendiculares ao eixo de rotação é por planos de constante
(fatias horizontais). Cada fatia, ao girar, gera um disco (ou círculo preenchido) em um plano perpendicular ao eixo. - A área de cada seção transversal (o disco) num dado
é
onde
é o raio do disco (a distância do eixo de rotação até a borda da região original, medida ao longo da direção
).
- O volume total é a integral dessa área ao longo do intervalo de
que a região ocupa:
Passo 3
Determinar o raio
da seção transversal e os limites de integração:
- A borda da região, para um dado
, fica em (tirei isso da expressão invertendo). - O eixo de rotação é
. A distância horizontal (raio) entre o eixo e a curva é
- Como observado no Passo 1, a região tem
variando de até . Logo os limites são e .
Passo 4
Montar a integral do volume usando a área do disco:
- A área da seção em função de
é
- Portanto o volume é
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro expandimos o quadrado:
- Substituindo na integral:
- Integramos termo a termo. As primitivas são:
- Avaliando de
a :
- Calculando cada termo em
:
- Somando com denominador comum
:
- Portanto a integral vale
e multiplicando por obtemos o volume.
Passo 6
Apresentar o resultado final do volume: