Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
y=\sqrt{x-1} ; y=0 ; x=5, em torno da reta x=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=\sqrt{x-1}, y=0 e x=5 em torno da reta x=5. Informações dadas e observações imediatas:
  • A curva y=\sqrt{x-1} pode ser escrita como x=y^{2}+1.
  • A interseção com y=0 ocorre em y=0 e então x=1.
  • Na reta x=5 temos y=\sqrt{5-1}=\\\ 2, então a região ocupa os valores de y entre 0 e 2.
  • O eixo de rotação é a reta vertical x=5.
    A partir daqui vamos usar o método das seções transversais (fatias) para montar e calcular a integral do volume.

Passo 2

Explicação do método das seções transversais (didática e passo a passo):
  • Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical, a maneira natural de cortar a figura por planos perpendiculares ao eixo de rotação é por planos de constante y (fatias horizontais). Cada fatia, ao girar, gera um disco (ou círculo preenchido) em um plano perpendicular ao eixo.
  • A área de cada seção transversal (o disco) num dado y é
A(y)=\pi\big(R(y)\big)^{2},
onde R(y) é o raio do disco (a distância do eixo de rotação até a borda da região original, medida ao longo da direção x).
  • O volume total é a integral dessa área ao longo do intervalo de y que a região ocupa:
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} A(y)\,dy.

Passo 3

Determinar o raio R(y) da seção transversal e os limites de integração:
  • A borda da região, para um dado y, fica em x=y^{2}+1 (tirei isso da expressão y=\sqrt{x-1} invertendo).
  • O eixo de rotação é x=5. A distância horizontal (raio) entre o eixo e a curva é
R(y)=5-(y^{2}+1)=4-y^{2}.
  • Como observado no Passo 1, a região tem y variando de 0 até 2. Logo os limites são y_{\min}=0 e y_{\max}=2.

Passo 4

Montar a integral do volume usando a área do disco:
  • A área da seção em função de y é
A(y)=\pi\big(4-y^{2}\big)^{2}.
  • Portanto o volume é
V=\int_{0}^{2}\pi\big(4-y^{2}\big)^{2}\,dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro expandimos o quadrado:
\big(4-y^{2}\big)^{2}=16-8y^{2}+y^{4}.
  • Substituindo na integral:
V=\pi\int_{0}^{2}\big(16-8y^{2}+y^{4}\big)\,dy.
  • Integramos termo a termo. As primitivas são:
\int 16\,dy=16y,\quad \int -8y^{2}\,dy=-\tfrac{8}{3}y^{3},\quad \int y^{4}\,dy=\tfrac{1}{5}y^{5}.
  • Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\big(16-8y^{2}+y^{4}\big)\,dy=\Big[16y-\tfrac{8}{3}y^{3}+\tfrac{1}{5}y^{5}\Big]_{0}^{2}.
  • Calculando cada termo em y=2:
16\cdot 2 = 32,\qquad -\tfrac{8}{3}\cdot 2^{3} = -\tfrac{8}{3}\cdot 8 = -\tfrac{64}{3},\qquad \tfrac{1}{5}\cdot 2^{5} = \tfrac{32}{5}.
  • Somando com denominador comum 15:
32-\tfrac{64}{3}+\tfrac{32}{5}=\frac{480}{15}-\frac{320}{15}+\frac{96}{15}=\frac{256}{15}.
  • Portanto a integral vale \dfrac{256}{15} e multiplicando por \pi obtemos o volume.

Passo 6

Apresentar o resultado final do volume:
V=\pi\cdot \frac{256}{15}=\frac{256\pi}{15}.

Resposta

\dfrac{256\pi}{15}

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