Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
y=x+1, y=0, x=0, x=2, em torno da reta y=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por \;y=x+1,\;y=0,\;x=0,\;x=2\; em torno da reta \;y=3.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Curva superior: } y=x+1,\\\ &\text{Curva inferior: } y=0,\\\ &\text{Limites em } x: x=0 \text{ a } x=2,\\\ &\text{Eixo de rotação: } y=3. \end{aligned}çã
Pergunta: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação usando o método das seções transversais.

Passo 2

Idea geométrica e escolha das seções: vou tomar seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação. Como o eixo \;y=3\; é horizontal, as seções perpendiculares a ele são planos verticais paralelos ao eixo x, ou seja, fatias verticais em posição x (uma fatia em x fixa). Cada fatia vertical da região original é o segmento vertical que vai de \;y=0\; até \;y=x+1\;. Ao rotacionar esse segmento em torno de \;y=3\; obtemos um disco com um furo (uma arruela, ou “washer”) cujo raio externo é a distância do eixo ao ponto mais distante do segmento e cujo raio interno é a distância do eixo ao ponto mais próximo do segmento.

Passo 3

Definições dos raios para uma fatia em x:
  • raio externo R(x) = distância de \;y=3\; até o ponto mais distante do segmento. Os extremos do segmento são y=0 e y=x+1. A distância até y=0 é |3-0|=3. Portanto
R(x)=3.
  • raio interno r(x) = distância de \;y=3\; até o ponto mais próximo do segmento, que é y=x+1. Assim
r(x)=|3-(x+1)|=|2-x|.
Como x está no intervalo [0,2], temos 2-x\ge 0 e portanto r(x)=2-x.

Passo 4

Fórmula da área da seção transversal (arruela): a área do disco externo menos a área do buraco interno é
A(x)=\pi\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr).
Substituindo R(x)=3 e r(x)=2-x,
\begin{aligned} A(x)&=\pi\bigl(3^2-(2-x)^2\bigr)\\[4pt] &=\pi\bigl(9-(4-4x+x^2)\bigr)\\[4pt] &=\pi\bigl(9-4+4x-x^2\bigr)\\[4pt] &=\pi\bigl(5+4x-x^2\bigr). \end{aligned}]

Passo 5

Volume pelo método das seções: integrar a área das seções ao longo de x de 0 a 2:
V=\int_{0}^{2} A(x)\,dx = \pi\int_{0}^{2} \bigl(5+4x-x^2\bigr)\,dx.
Calculo da integral:
\begin{aligned} \int_{0}^{2} \bigl(5+4x-x^2\bigr)\,dx &= \left[5x+2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}\\[4pt] &= \left(5\cdot 2 + 2\cdot 2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - 0\\[4pt] &= 10 + 8 - \frac{8}{3}\\[4pt] &= 18 - \frac{8}{3}\\[4pt] &= \frac{54-8}{3} = \frac{46}{3}. \end{aligned}
Logo o volume é \;V=\pi\cdot\frac{46}{3}.]

Resposta

\displaystyle \frac{46\pi}{3}

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