Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
em torno da reta
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação usando o método das seções transversais.
Passo 2
Idea geométrica e escolha das seções: vou tomar seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação. Como o eixo
é horizontal, as seções perpendiculares a ele são planos verticais paralelos ao eixo
, ou seja, fatias verticais em posição
(uma fatia em
fixa). Cada fatia vertical da região original é o segmento vertical que vai de
até
. Ao rotacionar esse segmento em torno de
obtemos um disco com um furo (uma arruela, ou “washer”) cujo raio externo é a distância do eixo ao ponto mais distante do segmento e cujo raio interno é a distância do eixo ao ponto mais próximo do segmento.
Passo 3
Definições dos raios para uma fatia em
:
- raio externo
= distância de até o ponto mais distante do segmento. Os extremos do segmento são e . A distância até é . Portanto
- raio interno
= distância de até o ponto mais próximo do segmento, que é . Assim
Como
está no intervalo
, temos
e portanto
.
Passo 4
Fórmula da área da seção transversal (arruela): a área do disco externo menos a área do buraco interno é
Substituindo
e
,
Passo 5
Volume pelo método das seções: integrar a área das seções ao longo de
de
a
:
Calculo da integral:
Logo o volume é
.]