Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto. Considere
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
no retângulo
e pede para, usando o método de separação de variáveis, encontrar soluções na forma de produto.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A solução procurada deve ter a forma de produto
. - A equação relaciona derivadas parciais em
e e contém um termo linear em .
O que se pede exatamente: encontrar, se possível, todas as soluções do tipo produto (ou uma família parametrizada) que satisfaçam a equação dada.
Passo 2
Assumimos a forma de produto
onde
é função só de
e
é função só de
. Esta é a hipótese clássica de separação de variáveis: a dependência mista em
é escrita como produto de duas funções univariadas.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias substituindo
:
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituindo na equação original obtemos
Se
e
não são identicamente zero (caso contrário tem-se a solução trivial
), podemos dividir ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 5
Reescrevendo para isolar as partes que dependem somente de
e somente de
:
O membro à esquerda depende apenas de
e o da direita apenas de
; a única forma disso ser verdade para todos
é que ambos sejam iguais a uma constante, que chamamos de
. Portanto definimos o chamado constante de separação
(pode ser real ou complexo em contextos mais gerais) e obtemos dois problemas ordinários:
Passo 6
Resolver a equação para
. A primeira equação é
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com separação direta. Integramos ambos os lados em
:
o que dá
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
constante não nula (ou zero se quisermos a solução trivial).
Passo 7
Resolver a equação para
. A segunda equação é
Integramos em
:
obtendo
e exponenciando
com
constante.
Passo 8
Montando a solução produto
com as constantes encontradas:
Reunindo as constantes multiplicativas em uma única constante
, chega-se à família de soluções separáveis
onde
e
são constantes (com
podendo ser zero, que dá a solução trivial).
Passo 9
Observações didáticas e exemplos rápidos:
- A constante
é a constante de separação; cada escolha de dá uma solução separável distinta. - Exemplos:
- Se
: (ou seja constante). - Se
: (ou seja constante).
- Se
- Por linearidade da equação (é homogênea e linear em
), somas finitas de soluções da forma acima também são soluções. Assim, superposições de exponenciais com diferentes geram outras soluções. - A solução trivial
corresponde a .