Se u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
(u \times v)+(w \times u)

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular a soma (u\times v)+(w\times u).
Dados:
u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1).
Pergunta: determinar o vetor (u\times v)+(w\times u).

Passo 2

Definição e fórmula do produto vetorial (cross product). Para dois vetores quaisquer a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) em \mathbb{R}^3, o produto vetorial a\times b é o vetor
a\times b = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Aqui cada componente é uma combinação dos componentes de a e b. Essa operação é bilinear e anticomutativa, ou seja a\times b = -\,b\times a. Vou aplicar essa fórmula diretamente aos vetores dados.

Passo 3

Calcular u\times v usando a fórmula componente a componente.
Primeira componente:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot(-1) - (-2)\cdot 4 = 1 - (-8) = 9.
Segunda componente:
u_3 v_1 - u_1 v_3 = (-2)\cdot 2 - 3\cdot(-1) = -4 - (-3) = -1.
Terceira componente:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 12 - (-2) = 14.
Portanto
u\times v = (9,-1,14).

Passo 4

Calcular w\times u da mesma forma.
Primeira componente:
w_2 u_3 - w_3 u_2 = 0\cdot(-2) - 1\cdot(-1) = 0 - (-1) = 1.
Segunda componente:
w_3 u_1 - w_1 u_3 = 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-2) = 3 - 2 = 1.
Terceira componente:
w_1 u_2 - w_2 u_1 = (-1)\cdot(-1) - 0\cdot 3 = 1 - 0 = 1.
Portanto
w\times u = (1,1,1).

Passo 5

Somar os dois vetores componente a componente:
(u\times v)+(w\times u) = (9,-1,14) + (1,1,1) = (9+1,\,-1+1,\,14+1) = (10,0,15).

Passo 6

Verificação alternativa pela propriedade anticomutativa e linearidade: como w\times u = -\,u\times w, tem-se
(u\times v)+(w\times u) = u\times v - u\times w = u\times (v-w).
Calcular v-w:
v-w = (2-(-1),\,4-0,\,-1-1) = (3,4,-2).
Então
u\times (v-w) = (10,0,15),
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

(10,0,15)

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