Se u=(3,-1,-2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
(u \times v)+(v \times u)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(3,-1,-2),\; v=(2,4,-1) e \,w=(-1,0,1) e pede para determinar
(u\times v)+(v\times u).
Informações importantes fornecidas:
  • As componentes de u são u_1=3,\;u_2=-1,\;u_3=-2.
  • As componentes de v são v_1=2,\;v_2=4,\;v_3=-1.
  • O vetor w foi dado no enunciado mas não é necessário para esta conta.
    A pergunta é única: calcular (u\times v)+(v\times u).

Passo 2

Explicando o que é o produto vetorial (cross product) e uma propriedade-chave.
  • Definição coordenada: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
u\times v=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Cada componente é uma diferença de produtos das componentes de u e v.
  • Propriedade anti‑comutativa (muito útil): para quaisquer vetores u,v em \mathbb{R}^3,
v\times u = -\bigl(u\times v\bigr).
Isto ocorre porque trocar a ordem no determinante que define o produto vetorial inverte o sinal. Essa propriedade nos permite simplificar somas do tipo (u\times v)+(v\times u).

Passo 3

Aplicando a propriedade anti‑comutativa diretamente:
(u\times v)+(v\times u)= (u\times v) + \bigl(- (u\times v)\bigr).
Ou seja, as duas parcelas são opostas e devem se cancelar entre si. Antes de escrever o resultado final, vou calcular u\times v explicitamente para mostrar os números na prática.

Passo 4

Cálculo direto de u\times v usando a fórmula componente a componente.
Usando u_1=3,\;u_2=-1,\;u_3=-2 e v_1=2,\;v_2=4,\;v_3=-1:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot(-1) - (-2)\cdot 4 = 1 - (-8) = 1+8 = 9.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = (-2)\cdot 2 - 3\cdot(-1) = -4 - (-3) = -4+3 = -1.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 12 - (-2) = 12+2 = 14.
Portanto
u\times v = (9,-1,14).

Passo 5

Agora calcular v\times u diretamente (ou usar a propriedade). Pela propriedade anti‑comutativa:
v\times u = -\bigl(u\times v\bigr) = -(9,-1,14) = (-9,1,-14).
Observa-se que v\times u é exatamente o oposto de u\times v.

Passo 6

Somando as duas parcelas:
(u\times v)+(v\times u) = (9,-1,14) + (-9,1,-14).
Somando componente a componente dá cancelamento completo.

Resposta

(0,0,0)

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