Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int x \ln (1+x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln(1+x)\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(1+x), \quad dv = x\,dx,
de modo que
du = \frac{1}{1+x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int x\ln(1+x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x}\,dx.

Passo 4

Fatoramos \tfrac12 na integral remanescente:
\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x}\,dx = \frac{1}{2}\,\int \frac{x^2}{1+x}\,dx.
Para simplificar, fazemos a divisão polinomial:
\frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x}.
Logo,
\int \frac{x^2}{1+x}\,dx = \int\bigl(x - 1 + \frac{1}{1+x}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos cada termo:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1\,dx = x, \quad \int \frac{1}{1+x}\,dx = \ln(1+x).
Assim,
\int \frac{x^2}{1+x}\,dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x),
e multiplicando por \tfrac12:
\frac{1}{2}\,\int \frac{x^2}{1+x}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+x).

Passo 6

Substituindo de volta em

Passo 7

\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \Bigl(\frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+x)\Bigr) + C.
Simplificando:
\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x) + C.

Resposta

\int x\ln(1+x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x) + C.

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