Quais das sequências \left\{a_{n}\right\} convergem ou divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\frac{n !}{10^{6 n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
\displaystyle a_{n} = \frac{n!}{10^{6n}}
e pede para ver se ela converge ou diverge, e, se convergente, encontrar o seu limite. Vamos usar o teste da razão, que é muito eficaz para sequências envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{10^{6(n+1)}}}{\displaystyle\frac{n!}{10^{6n}}} = \frac{n+1}{10^{6}}.

Passo 3

Note que, a partir de n = 10^{6}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{n+1}{10^{6}} > 1,
ou seja, para n suficientemente grande, os termos passam a crescer. Além disso, como o fatorial cresce mais rápido do que qualquer exponencial de base fixa, a sequência não se estabiliza nem tende a zero, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge, com
\lim_{n\to\infty} a_{n} = +\infty.

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