Quais das sequências \left\{a_{n}\right\} convergem ou divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\left(\frac{1}{n}\right)^{1 / \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)^{1 / \ln n}
e decidir se ela converge ou diverge, e, no caso de convergência, determinar seu limite. Vamos usar propriedades de logaritmo e exponencial para reescrever a_{n}.

Passo 2

Escrevemos a_{n} como uma exponencial usando
x^{y} = e^{y\ln x}.
Aqui x = 1/n e y = 1/\ln n, então
a_{n} = \Bigl(\tfrac{1}{n}\Bigr)^{1/\ln n} = e^{\frac{1}{\ln n}\,\ln\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}.

Passo 3

Calculamos o quociente no expoente:
\frac{\ln\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\ln n} = \frac{-\ln n}{\ln n} = -1.
Logo o expoente é constante e igual a -1.

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
a_{n} = e^{-1} = \frac{1}{e}
para todo n (exceto n=1, onde \ln1=0 não está definido). Então a sequência é constante igual a 1/e e, portanto, converge trivialmente.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{e}.

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