Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int \frac{y}{e^{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{y}{e^{y}}\,dy
usando o método de integração por partes. O conteúdo principal é a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
que vem da regra do produto na diferencial.

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma:
u = y \quad\text{e}\quad dv = e^{-y}\,dy
porque isso simplifica a derivada de u e permite integrar dv. Assim, calculamos
du = dy \quad\text{e}\quad v = \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int y\,e^{-y}\,dy = u\,v - \int v\,du = \bigl(y\cdot(-e^{-y})\bigr) - \int \bigl(-e^{-y}\bigr)\,dy.
Isso dá
-\,y\,e^{-y} + \int e^{-y}\,dy.
Em seguida,
\int e^{-y}\,dy = -e^{-y},
logo a integral completa é
-\,y\,e^{-y} - e^{-y} + C.

Passo 4

Podemos fatorar -e^{-y} para simplificar a expressão final:
-\,y\,e^{-y} - e^{-y} = -\bigl(y+1\bigr)\,e^{-y}.

Resposta

-\bigl(y+1\bigr)\,e^{-y} + C.

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