Utilize o método de substituição simples, u du, para calcular as seguintes integrais
int \cos (b x) d x, b \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(bx)\,dx,
onde b é uma constante real, usando o método de substituição simples.

Passo 2

Antes de tudo, note que se b=0 então \cos(0\cdot x)=1 e
\int 1\,dx = x + C.
Agora, para o caso b\neq 0, fazemos a substituição
u = bx,
de onde
du = b\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{b}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \cos(bx)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{b} = \frac{1}{b}\,\int \cos(u)\,du.

Passo 4

A integral de \cos(u) é
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Logo,
\frac{1}{b}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{b}\,\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original ( u = bx), obtemos
\int \cos(bx)\,dx = \frac{1}{b}\,\sin(bx) + C.

Resposta

Para b=0:
\int \cos(0\cdot x)\,dx = x + C.
Para b\neq 0:
\int \cos(bx)\,dx = \frac{1}{b}\,\sin(bx) + C.

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