Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int r^{3} \ln r d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int r^{3}\ln r\,dr
usando o método de integração por partes. O conteúdo é cálculo integral e vamos precisar escolher funções u e dv, calcular du e v e aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln r, \quad dv = r^3\,dr.
Dessa forma
du = \frac{1}{r}\,dr, \quad v = \int r^3\,dr = \frac{r^4}{4}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Logo,
\int r^3\ln r\,dr = \ln r\cdot\frac{r^4}{4} - \int \frac{r^4}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr.

Passo 4

Dentro da integral, simplificamos
\frac{r^4}{4}\cdot\frac{1}{r} = \frac{r^3}{4},
então
\int \frac{r^4}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr = \frac{1}{4}\int r^3\,dr = \frac{1}{4}\cdot\frac{r^4}{4} = \frac{r^4}{16}.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal, obtemos
\int r^3\ln r\,dr = \frac{r^4}{4}\ln r - \frac{r^4}{16} + C.

Resposta

\frac{r^4}{4}\ln r - \frac{r^4}{16} + C.

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