Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta
usando o método de integração por partes ( u\,dv).

Passo 2

Definimos
I = \int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta,
escolhendo
u = e^{-\theta}, \quad dv = \cos(2\theta)\,d\theta.
Então
du = -e^{-\theta}\,d\theta, \quad v = \int \cos(2\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Pela fórmula de partes,
I = uv - \int v\,du = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \int \frac{1}{2}\sin(2\theta)\bigl(-e^{-\theta}\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\!\int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta.
Chamemos
J = \int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta,
de modo que
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}J.

Passo 3

Agora calculamos
J = \int e^{-\theta}\sin(2\theta)\,d\theta
por partes, escolhendo
u = e^{-\theta}, \quad dv = \sin(2\theta)\,d\theta.
Então
du = -e^{-\theta}\,d\theta, \quad v = \int \sin(2\theta)\,d\theta = -\frac{1}{2}\cos(2\theta).
Aplica-se partes em J:
J = uv - \int v\,du = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\Bigr)\bigl(-e^{-\theta}\bigr)\,d\theta = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}\!\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta.
Mas \int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = I, logo
J = -\frac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}I.

Passo 4

Substituímos J em
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}J
para obter
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) + \frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \tfrac{1}{2}I\Bigr).
Isso dá
I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \frac{1}{4}e^{-\theta}\cos(2\theta) - \frac{1}{4}I.
Reorganizando para isolar I:
I + \frac{1}{4}I = \frac{1}{2}e^{-\theta}\sin(2\theta) - \frac{1}{4}e^{-\theta}\cos(2\theta),
\frac{5}{4}I = \frac{1}{4}e^{-\theta}\bigl(2\sin(2\theta) - \cos(2\theta)\bigr),
I = \frac{1}{5}e^{-\theta}\bigl(2\sin(2\theta) - \cos(2\theta)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{-\theta}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{e^{-\theta}}{5}\bigl(2\sin(2\theta) - \cos(2\theta)\bigr) + C.

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