Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\ln(y)}{\sqrt{y}}\,dy
usando o método de integração por partes ( u\,dv). Vamos escolher u de modo que sua derivada simplifique a expressão e dv de modo que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(y), \quad dv = y^{-\tfrac12}\,dy.
Assim, u simplifica ao derivar e dv é simples de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{y}\,dy, \qquad v = \int y^{-\tfrac12}\,dy = 2\,y^{\tfrac12}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \frac{\ln(y)}{\sqrt{y}}\,dy = \ln(y)\,\bigl(2y^{\tfrac12}\bigr) - \int 2y^{\tfrac12}\,\frac{1}{y}\,dy.

Passo 5

Dentro da integral residual aparece
\int 2y^{\tfrac12}\,\frac{1}{y}\,dy = 2\int y^{-\tfrac12}\,dy = 2\cdot\bigl(2y^{\tfrac12}\bigr) = 4\,y^{\tfrac12}.
Logo
\int \frac{\ln(y)}{\sqrt{y}}\,dy = 2y^{\tfrac12}\ln(y) \;-\; 4y^{\tfrac12} + C.

Resposta

\int \frac{\ln(y)}{\sqrt{y}}\,dy = 2\sqrt{y}\,\ln(y) \;-\; 4\sqrt{y} + C.

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