Utilize o método da substituição por partes, u dv, para resolver as seguintes integrais
\int t^{2} \operatorname{sen}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int t^{2}\sin(t)\,dt
usando o método de integração por partes. Para isso vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
\,u = t^{2} e \,dv = \sin(t)\,dt.
Então
\,du = 2t\,dt e \,v = -\cos(t).
Aplicando a fórmula:
\int t^{2}\sin(t)\,dt = u\,v - \int v\,du = -t^{2}\cos(t) + 2\int t\cos(t)\,dt

Passo 3

Agora resolvemos \int t\cos(t)\,dt por partes de novo. Tomamos
\,u_{1} = t e \,dv_{1} = \cos(t)\,dt.
Logo
\,du_{1} = dt e \,v_{1} = \sin(t).
Aplicando:
\int t\cos(t)\,dt = u_{1}v_{1} - \int v_{1}\,du_{1} = t\sin(t) - \int \sin(t)\,dt = t\sin(t) + \cos(t)
Multiplicando por 2:
2\int t\cos(t)\,dt = 2t\sin(t) + 2\cos(t)

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão do Passo 2:
\int t^{2}\sin(t)\,dt = -t^{2}\cos(t) + \bigl(2t\sin(t) + 2\cos(t)\bigr) + C

Resposta

-t^{2}\cos(t) + 2t\sin(t) + 2\cos(t) + C

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