Utilize o método de substituição simples, u du, para calcular as seguintes integrais
int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\,dx
usando o método de substituição simples. Vamos identificar uma substituição u de forma que sua diferencial esteja presente na integral.

Passo 2

Escolhemos
u = \frac{1}{x}.
Tomando diferencial, temos
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x^{2}} = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,\Bigl(\frac{dx}{x^{2}}\Bigr) = \int e^{u}\,(-du) = -\int e^{u}\,du.
Como \int e^{u}\,du = e^{u} + C, concluímos
-\int e^{u}\,du = -\,e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x (pois u=1/x), obtemos
-\,e^{u} + C = -\,e^{\frac{1}{x}} + C.

Resposta

-\,e^{\frac{1}{x}} + C.

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