Utilize o método de substituição simples, u du, para calcular as seguintes integrais
int\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}+3 x\right)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x^{2}+1)\,(x^{3}+3x)^{4}\,dx
usando o método de substituição simples ( u, du). Vamos reconhecer um “bloco interno” cuja derivada aparece fora dele.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 3x.
Agora calculamos du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = (3x^{2} + 3)\,dx = 3\,(x^{2}+1)\,dx.
Portanto, podemos isolar (x^{2}+1)\,dx:
(x^{2}+1)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral original em função de u:
\int (x^{2}+1)\,(x^{3}+3x)^{4}\,dx = \int u^{4}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Lembrando que
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C,
temos
\frac{1}{3}\,\int u^{4}\,du = \frac{1}{3}\,\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{u^{5}}{15} + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u = x^{3}+3x, obtemos
\frac{u^{5}}{15} + C = \frac{\bigl(x^{3}+3x\bigr)^{5}}{15} + C.

Resposta

\int (x^{2}+1)\,(x^{3}+3x)^{4}\,dx = \frac{(x^{3}+3x)^{5}}{15} + C.

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