Utilize o método de substituição simples, u du, para calcular as seguintes integrais
int e^{t} \operatorname{sen}\left(e^{t}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{t}\,\sin\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
usando o método de substituição simples ( u du). O conteúdo aqui é reconhecer uma parte da função cuja derivada também aparece multiplicando a integranda.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{t}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = e^{t}\,dt,
ou seja, e^{t}\,dt = du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int e^{t}\,\sin\bigl(e^{t}\bigr)\,dt = \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos em relação a u:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = e^{t} no resultado:
-\cos(u) + C = -\cos\bigl(e^{t}\bigr) + C.

Resposta

\int e^{t}\,\sin\bigl(e^{t}\bigr)\,dt = -\cos\bigl(e^{t}\bigr) + C.

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