Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
A equação diferencia linear dada é de segunda ordem e não homogênea: queremos resolver
O conteúdo envolvido é o método de variação de parâmetros. Para aplicar, vamos precisar das soluções da equação homogênea associada e do seu Wronskiano.
Passo 2
A equação homogênea é
O polinômio característico é
cuja raízes são
e
. Logo, duas soluções lineares independentes são
Passo 3
Pelo método de variação de parâmetros, buscamos uma solução particular da forma
Impor as condições
Passo 4
Substituindo
e derivadas na última sistema:
,
. Ficamos com
Da segunda equação segue
$$
u_2’(t)=-e{4t}\sec2(2t),
u_1’(t)= -u_2’e{-4t}=\sec2(2t).
$$
Passo 5
Integramos agora:
Os constantes de integração
podem ser absorvidos na solução homogênea.
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Como constants de
foram absorvidos, obtemos
Substituindo
:
Passo 7
Pronto! Essa expressão, com
arbitrários, é a solução geral da equação original.
Resposta
x(t)=C_1+C_2e{-4t}+\frac12\tan(2t)-e{-4t}\displaystyle\int_{0}{t}e{4s}\sec^2(2s),ds