Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial:
ddotx+4 dotx=4 sec ^2 2 t

Passo 1

A equação diferencia linear dada é de segunda ordem e não homogênea: queremos resolver
ddotx+4dotx=4sec^2(2t)
O conteúdo envolvido é o método de variação de parâmetros. Para aplicar, vamos precisar das soluções da equação homogênea associada e do seu Wronskiano.

Passo 2

A equação homogênea é
ddotx+4dotx=0
O polinômio característico é
r^2+4r=r(r+4)=0,
cuja raízes são r1=0 e r2=-4. Logo, duas soluções lineares independentes são
y1(t)=1,
y2(t)=e^-4t

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, buscamos uma solução particular da forma
xp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)=u1(t),1+u2(t)e^-4t
Impor as condições
u1'(t)y1(t)+u2'(t)y2(t)=0, u1'(t)y1'(t)+u2'(t)y2'(t)=4sec^2(2t)

Passo 4

Substituindo y1,y2 e derivadas na última sistema: y1'=0, y2'=-4e^-4t. Ficamos com
u1'+u2'e^-4t=0,-4u2'e^-4t=4sec^2(2t)
Da segunda equação segue
$$
u_2’(t)=-e{4t}\sec2(2t), u2'(t)=-e^4tsec^2(2t),ã
u_1’(t)= -u_2’e{-4t}=\sec2(2t).
$$

Passo 5

Integramos agora:
u1(t)=integralsec^2(2t),dt=tfrac12tan(2t)+C1*,
u2(t)=-integral e^4tsec^2(2t),dt+ C2*
Os constantes de integração C1*,C2* podem ser absorvidos na solução homogênea.

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Como constants de nu1,nu2 foram absorvidos, obtemos
x(t)=C1+C2e^-4t+u1(t)cdot1+u2(t)e^-4t
Substituindo u1,u2:
x(t)=C1+C2e^-4t+tfrac12tan(2t)-e^-4tintegral0^t e^4ssec^2(2s),ds

Passo 7

Pronto! Essa expressão, com C1,C2 arbitrários, é a solução geral da equação original.

Resposta

x(t)=C_1+C_2e{-4t}+\frac12\tan(2t)-e{-4t}\displaystyle\int_{0}{t}e{4s}\sec^2(2s),ds

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