Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
ll integral0^3 raizx+1 d x & x=2 t-1 integral1 / 2^1 d xraiz1-x^4 & x=sen t integral3 / 4^4 / 3 d xraizx^2+1 & x=sh t integral0^pi / 2 f(x) d x & x=arctan t

Passo 1

O enunciado nos pede para aplicar substituições em quatro integrais, transformando cada uma em uma integral em termos de t. O conteúdo envolve mudança de variável em integrais: precisamos calcular dx, ajustar os limites de integração e reescrever o integrando.

Passo 2

Para integral0^3 raizx+1,dx, fazemos x=2t-1. Então dx=2,dt. Quando x=0, t=tfrac12; quando x=3, t=2. Substituindo, raizx+1=raiz2t e obtemos a integral em t.

Passo 3

Para integral1/2^1 dxraiz1-x^4, usamos x=sin t. Logo dx=cos t,dt. Os limites vão de t=arcsin(1/2)=pi/6 a t=arcsin(1)=pi/2. Como 1-x^4=1-sin^4t=cos^2t,(1+sin^2t), a raiz é cos traiz1+sin^2t. Fazendo a divisão, sobra 1/raiz1+sin^2t.

Passo 4

Para integral3/4^4/3 dxraizx^2+1, tomamos , de modo que . Os limites são até . Como , o integrando fica , e com a integral vira simplesmente x=sh t.

Passo 5

Para integral0^pi/2 f(x),dx, fazemos x=arctan t, logo dx=dt1+t^2. Quando x=0, t=0; quando x=pi/2, t=tan(pi/2)to+infty. O integrando fica f(arctan t) e o diferencial dx=dt/(1+t^2), gerando a integral em t.

Resposta

integral0^3 raizx+1,dx = integral1/2^2 2raiz2t,dt
integral1/2^1 dxraiz1-x^4 = integralpi/6^pi/2 dtraiz1+sin^2t
integral3/4^4/3 dxraizx^2+1 = integralarsinh(3/4)^arsinh(4/3) dt

Exercícios relacionados