Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.25 \dddot{r}-3 \ddot{r}+3 \dot{r}-r=\frac{e^{\prime}}{t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
\dddot{r}-3\ddot{r}+3\dot{r}-r=\frac{e'(t)}{t},
usando o método de variação dos parâmetros. As informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear de ordem 3, coeficiente líder igual a 1.
  • O termo não-homogêneo é \dfrac{e'(t)}{t}, onde e(t) é uma função dada (o enunciado usa e' para denotar sua derivada).
  • Devemos encontrar a solução geral r(t)=r_h(t)+r_p(t), sendo r_h solução da homogênea e r_p uma solução particular obtida por variação dos parâmetros.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
\dddot{r}-3\ddot{r}+3\dot{r}-r=0.
Usamos o operador D=\dfrac{d}{dt}. O polinômio característico é
\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1.
Reconhece-se o binômio (\lambda-1)^{3}, pois
(\lambda-1)^{3}=\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1.
Logo a raiz \lambda=1 tem multiplicidade 3. As soluções fundamentais da homogênea são, portanto
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t},\qquad y_{3}(t)=t^{2}e^{t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
r_{h}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Aplicar a variação dos parâmetros: procuramos uma solução particular da forma
r_{p}(t)=u_{1}(t)e^{t}+u_{2}(t)\,t e^{t}+u_{3}(t)\,t^{2}e^{t},
onde u_{1},u_{2},u_{3}\) são funções a determinar. Para simplificar as equações resultantes escolhemos as condicionantes padrão (para ordem 3): \[\begin{cases} u_{1}'(t)\,y_{1}(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)\,y_{1}'(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}'(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}'(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)\,y_{1}''(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}''(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}''(t)=\dfrac{e'(t)}{t}, \end{cases}
onde a terceira linha tem à direita o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente líder (aqui (1]).]

Passo 4

Calcular as derivadas das soluções fundamentais (tudo em função de t):
\begin{aligned} y_{1}(t)&=e^{t}, & y_{1}'(t)&=e^{t}, & y_{1}''(t)&=e^{t},\\[4pt] y_{2}(t)&=t e^{t}, & y_{2}'(t)&=(1+t)e^{t}, & y_{2}''(t)&=(2+t)e^{t},\\[4pt] y_{3}(t)&=t^{2}e^{t}, & y_{3}'(t)&=(2t+t^{2})e^{t}, & y_{3}''(t)&=(2+4t+t^{2})e^{t}. \end{aligned}
Substituindo as y's e cancelando o fator comum e^{t} das três equações, obtemos o sistema para u_{1}',u_{2}',u_{3}':
\begin{cases} u_{1}'+t\,u_{2}'+t^{2}\,u_{3}'=0,\\[4pt] u_{1}'+(1+t)\,u_{2}'+(2t+t^{2})\,u_{3}'=0,\\[4pt] u_{1}'+(2+t)\,u_{2}'+(2+4t+t^{2})\,u_{3}'=\dfrac{e'(t)}{t}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para u_{1}',u_{2}',u_{3}'. Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira:
  • (segunda) − (primeira) dá
u_{2}'+2t\,u_{3}'=0.
  • (terceira) − (segunda) dá
u_{2}'+(2+2t)\,u_{3}'=\dfrac{e'(t)}{t}.
Subtraindo agora a primeira dessas duas novas equações (ou simplesmente subtraindo as duas últimas) obtemos
2\,u_{3}'=\dfrac{e'(t)}{t}\quad\Rightarrow\quad u_{3}'(t)=\dfrac{e'(t)}{2t}.
Então
u_{2}'(t)=-2t\,u_{3}'(t)=-2t\cdot\dfrac{e'(t)}{2t}=-e'(t).
E da primeira equação original
u_{1}'(t)=-t\,u_{2}'(t)-t^{2}\,u_{3}'(t) =-t\big(-e'(t)\big)-t^{2}\cdot\dfrac{e'(t)}{2t} =\dfrac{t}{2}\,e'(t).

Passo 6

Integrar para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Tomamos primitivas quaisquer (constantes de integração serão absorvidas em r_{h}).
  • Para u_{2}:
u_{2}(t)=\int u_{2}'(t)\,dt=\int -e'(t)\,dt=-e(t).
  • Para u_{1}:
u_{1}(t)=\int u_{1}'(t)\,dt=\int \dfrac{t}{2}\,e'(t)\,dt =\dfrac{1}{2}\int t\,e'(t)\,dt.
Fazendo integração por partes com v=e(t) e du=t\,dt (ou a forma padrão: \int t e'\,dt = t e(t)-\int e(t)\,dt), obtemos
u_{1}(t)=\dfrac{1}{2}\big(t\,e(t)-\int e(t)\,dt\big).
  • Para u_{3}:
u_{3}(t)=\int u_{3}'(t)\,dt=\int \dfrac{e'(t)}{2t}\,dt=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{e'(t)}{t}\,dt.
Podemos reescrever essa integral por partes: tomando d(e)=e'(t)\,dt e u=\dfrac{1}{t} temos
\int \dfrac{e'(t)}{t}\,dt=\dfrac{e(t)}{t}+\int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt,
portanto
u_{3}(t)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{e(t)}{t}+\int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt\right).
(ou, se preferir, mantenha u_{3}=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{e'(t)}{t}\,dt.)

Passo 7

Construir r_{p} substituindo u_{1},u_{2},u_{3} na anzatz:
\begin{aligned} r_{p}(t) &=e^{t}u_{1}(t)+t e^{t}u_{2}(t)+t^{2}e^{t}u_{3}(t)\\[4pt] &=e^{t}\!\left[\dfrac{1}{2}\big(t e(t)-\!\int e(t)\,dt\big)\right] +t e^{t}\big(-e(t)\big) +t^{2}e^{t}\cdot\dfrac{1}{2}\int \dfrac{e'(t)}{t}\,dt. \end{aligned}
Agrupando os termos e usando a forma de u_{3} após integração por partes (isto é, \dfrac{1}{2}\int \dfrac{e'}{t}=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{e}{t}+\int \dfrac{e}{t^{2}}\big)) observa-se uma cancelamento conveniente entre o termo vindo de u_{1} e parte do termo vindo de u_{3}. Após simplificar obtém-se a forma compacta
r_{p}(t)=\dfrac{e^{t}}{2}\left(-\int e(t)\,dt + t^{2}\int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt\right),
onde as integrais são primitivias quaisquer (constantes absorvidas em r_{h}).]

Passo 8

Montar a solução geral somando homogênea e particular. Assim a solução geral da equação dada é
r(t)=r_{h}(t)+r_{p}(t) =\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t} +\dfrac{e^{t}}{2}\left(-\int e(t)\,dt + t^{2}\int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt\right).
Aqui \displaystyle \int e(t)\,dt e \displaystyle \int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt representam primitivias de e(t) e e(t)/t^{2}, respectivamente; constantes de integração dessas primitivas foram incorporadas em C_{1},C_{2},C_{3}.

Resposta

r(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t} +\dfrac{e^{t}}{2}\left(-\int e(t)\,dt + t^{2}\int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt\right)

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