Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.25 \dddot{r}-3 \ddot{r}+3 \dot{r}-r=\frac{e^{\prime}}{t}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
\dddot{r}-3\ddot{r}+3\dot{r}-r=\frac{e'(t)}{t},
usando o método de variação dos parâmetros. As informações relevantes que temos:
É uma equação linear de ordem 3, coeficiente líder igual a 1.
O termo não-homogêneo é \dfrac{e'(t)}{t}, onde e(t) é uma função dada (o enunciado usa e' para denotar sua derivada).
Devemos encontrar a solução geral r(t)=r_h(t)+r_p(t), sendo r_h solução da homogênea e r_p uma solução particular obtida por variação dos parâmetros.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
\dddot{r}-3\ddot{r}+3\dot{r}-r=0.
Usamos o operador D=\dfrac{d}{dt}. O polinômio característico é
onde u_{1},u_{2},u_{3}\) são funções a determinar. Para simplificar as equações resultantes escolhemos as condicionantes padrão (para ordem 3):
\[\begin{cases} u_{1}'(t)\,y_{1}(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)\,y_{1}'(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}'(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}'(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)\,y_{1}''(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}''(t)+u_{3}'(t)\,y_{3}''(t)=\dfrac{e'(t)}{t}, \end{cases}
onde a terceira linha tem à direita o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente líder (aqui (1]).]
Passo 4
Calcular as derivadas das soluções fundamentais (tudo em função de t):
Agrupando os termos e usando a forma de u_{3} após integração por partes (isto é, \dfrac{1}{2}\int \dfrac{e'}{t}=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{e}{t}+\int \dfrac{e}{t^{2}}\big)) observa-se uma cancelamento conveniente entre o termo vindo de u_{1} e parte do termo vindo de u_{3}. Após simplificar obtém-se a forma compacta
Aqui \displaystyle \int e(t)\,dt e \displaystyle \int \dfrac{e(t)}{t^{2}}\,dt representam primitivias de e(t) e e(t)/t^{2}, respectivamente; constantes de integração dessas primitivas foram incorporadas em C_{1},C_{2},C_{3}.