Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.21 \ddot{x}+4 x=4 \operatorname{sec} ^{2} 2 t
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\ddot{x}+4x=4\operatorname{sec}^{2}(2t)
e pede a solução geral. Vou listar o que temos:
É uma equação linear de segunda ordem não homogênea.
O termo não homogêneo é 4\operatorname{sec}^{2}(2t).
Precisamos encontrar a solução geral x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h é a solução geral da equação homogênea associada e x_p é uma solução particular.
Neste problema usaremos o método de variação dos parâmetros para obter x_p.
Passo 2
Primeiro resolvo a equação homogênea associada:
\ddot{x}+4x=0.
A equação característica é
r^{2}+4=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\mathrm{i}.
Portanto duas soluções lineares independentes são
u_{1}(t)=\cos(2t),\qquad u_{2}(t)=\sin(2t).
A solução geral homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora uso variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
x_{p}(t)=v_{1}(t)\cos(2t)+v_{2}(t)\sin(2t),
onde v_{1},v_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
v_{1}'(t)\cos(2t)+v_{2}'(t)\sin(2t)=0
para simplificar as equações; com essa condição as derivadas ficam fáceis de manipular e obtemos o sistema para v_{1}' e v_{2}'.
Para uma equação na forma padrão x''+p(t)x'+q(t)x=g(t) as fórmulas usuais (resultado direto da construção) são
Integro v_{2}'(t)=2\operatorname{sec}(2t). Usando a primitiva conhecida \int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C e fazendo a substituição u=2t (portanto du=2\,dt), obtemos
Observação: esta expressão é válida em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (para que \operatorname{sec} e \tan estejam bem definidas); em geral a solução vale em intervalos entre as descontinuidades de \operatorname{sec}(2t).
Passo 8
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: