Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.21 \ddot{x}+4 x=4 \operatorname{sec} ^{2} 2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\ddot{x}+4x=4\operatorname{sec}^{2}(2t)
e pede a solução geral. Vou listar o que temos:
  • É uma equação linear de segunda ordem não homogênea.
  • O termo não homogêneo é 4\operatorname{sec}^{2}(2t).
  • Precisamos encontrar a solução geral x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h é a solução geral da equação homogênea associada e x_p é uma solução particular.
    Neste problema usaremos o método de variação dos parâmetros para obter x_p.

Passo 2

Primeiro resolvo a equação homogênea associada:
\ddot{x}+4x=0.
A equação característica é
r^{2}+4=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\mathrm{i}.
Portanto duas soluções lineares independentes são
u_{1}(t)=\cos(2t),\qquad u_{2}(t)=\sin(2t).
A solução geral homogênea é
x_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora uso variação dos parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular da forma
x_{p}(t)=v_{1}(t)\cos(2t)+v_{2}(t)\sin(2t),
onde v_{1},v_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
v_{1}'(t)\cos(2t)+v_{2}'(t)\sin(2t)=0
para simplificar as equações; com essa condição as derivadas ficam fáceis de manipular e obtemos o sistema para v_{1}' e v_{2}'.
Para uma equação na forma padrão x''+p(t)x'+q(t)x=g(t) as fórmulas usuais (resultado direto da construção) são
v_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,u_{2}(t)}{W(t)},\qquad v_{2}'(t)=\frac{g(t)\,u_{1}(t)}{W(t)},
onde W(t) é o Wronskiano de u_{1},u_{2}:
W(t)=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2} \\\ u_{1}' & u_{2}'\end{vmatrix}.
Aqui g(t)=4\operatorname{sec}^{2}(2t), u_{1}=\cos(2t), u_{2}=\sin(2t). Vou calcular W(t).

Passo 4

Calculo do Wronskiano:
u_{1}'(t)=-2\sin(2t),\qquad u_{2}'(t)=2\cos(2t).
Logo
W(t)=\begin{vmatrix}\cos(2t) & \sin(2t) \\\\ -2\sin(2t) & 2\cos(2t)\end{vmatrix} =2\cos^{2}(2t)+2\sin^{2}(2t)=2.
O Wronskiano é constante W=2. Agora uso as fórmulas para v_{1}' e v_{2}':
v_{1}'(t)=-\frac{4\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\sin(2t)}{2}=-2\frac{\sin(2t)}{\cos^{2}(2t)},
v_{2}'(t)=\frac{4\operatorname{sec}^{2}(2t)\,\cos(2t)}{2}=2\frac{\cos(2t)}{\cos^{2}(2t)}=2\operatorname{sec}(2t).

Passo 5

Integro v_{2}'(t)=2\operatorname{sec}(2t). Usando a primitiva conhecida \int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C e fazendo a substituição u=2t (portanto du=2\,dt), obtemos
\int \operatorname{sec}(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|+C.
Multiplicando por 2,
v_{2}(t)=2\int \operatorname{sec}(2t)\,dt=\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big| + C_{2}.
Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, tomamos a primitiva sem a constante:
v_{2}(t)=\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|.

Passo 6

Agora integro v_{1}'(t)=-2\frac{\sin(2t)}{\cos^{2}(2t)}. Faço a substituição u=\operatorname{sec}(2t)=\dfrac{1}{\cos(2t)}. Então
\frac{du}{dt}=2\operatorname{sec}(2t)\tan(2t)=2\frac{\sin(2t)}{\cos^{2}(2t)}.
Isto implica \frac{\sin(2t)}{\cos^{2}(2t)}=\dfrac{1}{2}\,u'. Assim
v_{1}'(t)=-2\cdot\frac{\sin(2t)}{\cos^{2}(2t)}=-2\cdot\frac{1}{2}u'=-u'.
Integrando,
v_{1}(t)=-u + C_{1} = -\operatorname{sec}(2t)+C_{1}.
Novamente desprezamos a constante C_{1} (ela será absorvida em x_h), ficando
v_{1}(t)=-\operatorname{sec}(2t).

Passo 7

Montando a solução particular x_{p}(t)=v_{1}(t)\cos(2t)+v_{2}(t)\sin(2t):
x_{p}(t)=\big(-\operatorname{sec}(2t)\big)\cos(2t)+\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|\sin(2t).
Simplificando o primeiro termo, -\operatorname{sec}(2t)\cos(2t)=-1. Portanto
x_{p}(t)=-1+\sin(2t)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|.
Observação: esta expressão é válida em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (para que \operatorname{sec} e \tan estejam bem definidas); em geral a solução vale em intervalos entre as descontinuidades de \operatorname{sec}(2t).

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)-1+\sin(2t)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|.
Isso dá a família completa de soluções da equação original em cada intervalo onde as funções envolvidas são definidas.

Resposta

x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)-1+\sin(2t)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\big|

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