Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.9 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{s}}{x^{s}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y=\frac{e^{s}}{x^{s}},
onde y=y(x) e s é um parâmetro (constante). Ou seja:
pergunta: encontrar a solução geral y(x) da equação linear de segunda ordem não homogenea dada;
dados relevantes: o membro esquerdo tem coeficientes constantes; o membro direito é \dfrac{e^{s}}{x^{s}}=e^{s}x^{-s}.
A resolução começará por achar a solução geral da equação homogênea associada e então aplicar o método de variação de parâmetros para obter uma particular. Não vou assumir que já sabe esse método: vou explicar cada passo.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Suponha uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática que fatoriza:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto há raiz dupla r=1. Quando a raiz é dupla, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicar o método de variação de parâmetros (intuição e fórmulas).
Ideia: em vez de constantes C_{1},C_{2}\) tomamos funções \(u_{1}(x),u_{2}(x)\) e buscamos uma solução particular da forma
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Para determinar u_{1},u_{2} impomos o sistema auxiliar clássico (essa escolha simplifica as derivadas):
A integral \int e^{-x}x^{-s}\,dx não é expressável em termos de funções elementares em geral; ela é ligada à função gama incompleta. Lembrando a definição da função gama incompleta superior:
\Gamma(a,x)=\int_{x}^{\infty} t^{a-1}e^{-t}\,dt,
tem-se a propriedade (derivada):
\frac{d}{dx}\Gamma(a,x)=-x^{a-1}e^{-x}.
Daí uma primitiva de x^{a-1}e^{-x} é -\Gamma(a,x). No nosso integrando escrevemos x^{-s}=x^{(1-s)-1}, ou seja a=1-s. Portanto
Observação: constantes de integração poderiam ser adicionadas a u_{1},u_{2}, mas essas constantes geram combinações lineares das soluções y_{1},y_{2} e portanto são incorporadas em y_{h}; por isso podemos tomar as primitivas sem constantes.
Passo 7
Formar a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias e \Gamma(\cdot,\cdot) é a função gama incompleta superior definida acima. Isso resolve a equação para qualquer parâmetro s (valores de s que causem singularidades na gama devem ser tratados com cuidado, mas a expressão geral acima é a forma canônica).