Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.9 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{s}}{x^{s}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y=\frac{e^{s}}{x^{s}},
onde y=y(x) e s é um parâmetro (constante). Ou seja:
  • pergunta: encontrar a solução geral y(x) da equação linear de segunda ordem não homogenea dada;
  • dados relevantes: o membro esquerdo tem coeficientes constantes; o membro direito é \dfrac{e^{s}}{x^{s}}=e^{s}x^{-s}.
    A resolução começará por achar a solução geral da equação homogênea associada e então aplicar o método de variação de parâmetros para obter uma particular. Não vou assumir que já sabe esse método: vou explicar cada passo.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Suponha uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Essa é uma quadrática que fatoriza:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto há raiz dupla r=1. Quando a raiz é dupla, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicar o método de variação de parâmetros (intuição e fórmulas).
  • Ideia: em vez de constantes C_{1},C_{2}\) tomamos funções \(u_{1}(x),u_{2}(x)\) e buscamos uma solução particular da forma \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
  • Para determinar u_{1},u_{2} impomos o sistema auxiliar clássico (essa escolha simplifica as derivadas):
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=f(x), \end{cases}
onde f(x)\] é o termo não-homogêneo do lado direito da equação na forma padrão \(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x). Aqui f(x)=e^{s}x^{-s}.
  • Também é útil a forma prática em termos do Wronskiano W(x)=\det\begin{pmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{pmatrix}: então
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)f(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)f(x)}{W(x)}.
Vou aplicar essas fórmulas.]

Passo 4

Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais y_{1}=e^{x} e y_{2}=x e^{x}.
Primeiro as derivadas:
y_{1}'=e^{x},\qquad y_{2}'=(x e^{x})'=(1+x)e^{x}.
O Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix}e^{x} & x e^{x}\\[4pt] e^{x} & (1+x)e^{x}\end{vmatrix} = e^{x}\cdot(1+x)e^{x}-x e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}.
Portanto W(x)=e^{2x} (nunca zero para todo x, o que é esperado).]

Passo 5

Usar as fórmulas do passo anterior com f(x)=e^{s}x^{-s}.
Calcule u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)f(x)}{W(x)} =-\frac{x e^{x}\cdot e^{s}x^{-s}}{e^{2x}} =-e^{s}e^{-x}x^{1-s},
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)f(x)}{W(x)} =\frac{e^{x}\cdot e^{s}x^{-s}}{e^{2x}} =e^{s}e^{-x}x^{-s}.
Estas são funções que agora devemos integrar para obter u_{1},u_{2}.

Passo 6

Integrar u_{2}' e u_{1}'. Primeiro u_{2}:
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx = e^{s}\int e^{-x}x^{-s}\,dx.
A integral \int e^{-x}x^{-s}\,dx não é expressável em termos de funções elementares em geral; ela é ligada à função gama incompleta. Lembrando a definição da função gama incompleta superior:
\Gamma(a,x)=\int_{x}^{\infty} t^{a-1}e^{-t}\,dt,
tem-se a propriedade (derivada):
\frac{d}{dx}\Gamma(a,x)=-x^{a-1}e^{-x}.
Daí uma primitiva de x^{a-1}e^{-x} é -\Gamma(a,x). No nosso integrando escrevemos x^{-s}=x^{(1-s)-1}, ou seja a=1-s. Portanto
\int e^{-x}x^{-s}\,dx=-\Gamma(1-s,x)+\text{const}.
Escolhendo uma primitiva particular (podemos desprezar constantes porque serão absorvidas na parte homogênea), tomamos
u_{2}(x)=-e^{s}\Gamma(1-s,x).
Agora u_{1}:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx =-e^{s}\int e^{-x}x^{1-s}\,dx.
Aqui x^{1-s}=x^{(2-s)-1}, então com a=2-s obtemos
\int e^{-x}x^{1-s}\,dx=-\Gamma(2-s,x)+\text{const},
portanto, escolhendo a primitiva particular,
u_{1}(x)=e^{s}\Gamma(2-s,x).
Observação: constantes de integração poderiam ser adicionadas a u_{1},u_{2}, mas essas constantes geram combinações lineares das soluções y_{1},y_{2} e portanto são incorporadas em y_{h}; por isso podemos tomar as primitivas sem constantes.

Passo 7

Formar a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)\,x e^{x}.
Usando os u encontrados:
y_{p}(x)=\bigl(e^{s}\Gamma(2-s,x)\bigr)e^{x}+\bigl(-e^{s}\Gamma(1-s,x)\bigr)\,x e^{x}.
Fatorando e^{s}e^{x}:
y_{p}(x)=e^{s}e^{x}\bigl(\Gamma(2-s,x)-x\Gamma(1-s,x)\bigr).
Podemos também, se desejar, usar a relação de recorrência das funções gama incompletas
\Gamma(a+1,x)=a\Gamma(a,x)+x^{a}e^{-x}
para reescrever a combinação; uma forma alternativa é
y_{p}(x)=e^{s}\Bigl(x^{1-s} + e^{x}(1-s-x)\Gamma(1-s,x)\Bigr),
mas a forma direta em termos de \Gamma(2-s,x) e \Gamma(1-s,x) é suficientemente clara.

Passo 8

Juntar solução homogênea e particular para obter a solução geral. A solução geral da equação dada é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+e^{s}e^{x}\bigl(\Gamma(2-s,x)-x\Gamma(1-s,x)\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias e \Gamma(\cdot,\cdot) é a função gama incompleta superior definida acima. Isso resolve a equação para qualquer parâmetro s (valores de s que causem singularidades na gama devem ser tratados com cuidado, mas a expressão geral acima é a forma canônica).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+e^{s}e^{x}\bigl(\Gamma(2-s,x)-x\Gamma(1-s,x)\bigr)

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