Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.30 y^{(5)}-4 y^{(3)}=32 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de ordem 5
y^{(5)}-4y^{(3)}=32e^{2x},
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma EDO linear com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 32e^{2x}.
  • Deve-se usar o método de variação dos parâmetros para obter uma solução particular e, juntos com a solução geral da homogênea, formar a solução geral.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{(5)}-4y^{(3)}=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{5}-4r^{3}=0.
Fatorando:
r^{3}(r^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{3}(r-2)(r+2)=0.
As raízes são r=0 com multiplicidade 3, r=2 e r=-2 (simples). Portanto uma base de soluções fundamentais da homogênea é
y_{1}=1,\quad y_{2}=x,\quad y_{3}=x^{2},\quad y_{4}=e^{2x},\quad y_{5}=e^{-2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{2x}+C_{5}e^{-2x},
onde C_{1},\dots,C_{5} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação dos parâmetros: procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)\,y_{1}+u_{2}(x)\,y_{2}+u_{3}(x)\,y_{3}+u_{4}(x)\,y_{4}+u_{5}(x)\,y_{5}.
No método impõe-se as condições (neste caso n-1=4\) condições) para simplificar as derivadas: \[\begin{cases} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{3}'y_{3}+u_{4}'y_{4}+u_{5}'y_{5}=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{3}'y_{3}'+u_{4}'y_{4}'+u_{5}'y_{5}'=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}''+u_{2}'y_{2}''+u_{3}'y_{3}''+u_{4}'y_{4}''+u_{5}'y_{5}''=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}'''+u_{2}'y_{2}'''+u_{3}'y_{3}'''+u_{4}'y_{4}'''+u_{5}'y_{5}'''=0, \end{cases}
e a última equação vem da equação original transformada em forma normal (coeficiente principal (1]):
u_{1}'y_{1}^{(4)}+u_{2}'y_{2}^{(4)}+u_{3}'y_{3}^{(4)}+u_{4}'y_{4}^{(4)}+u_{5}'y_{5}^{(4)} =32e^{2x}.]

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias das soluções fundamentais (até a quarta derivada):
  • Para y_{1}=1: y_{1}'=0,\; y_{1}''=0,\; y_{1}'''=0,\; y_{1}^{(4)}=0.
  • Para y_{2}=x: y_{2}'=1,\; y_{2}''=0,\; y_{2}'''=0,\; y_{2}^{(4)}=0.
  • Para y_{3}=x^{2}: y_{3}'=2x,\; y_{3}''=2,\; y_{3}'''=0,\; y_{3}^{(4)}=0.
  • Para y_{4}=e^{2x}: y_{4}'=2e^{2x},\; y_{4}''=4e^{2x},\; y_{4}'''=8e^{2x},\; y_{4}^{(4)}=16e^{2x}.
  • Para y_{5}=e^{-2x}: y_{5}'=-2e^{-2x},\; y_{5}''=4e^{-2x},\; y_{5}'''=-8e^{-2x},\; y_{5}^{(4)}=16e^{-2x}.
Substituindo nas equações do sistema obtemos o sistema linear para u_i':
\begin{cases} u_{1}'+x\,u_{2}'+x^{2}u_{3}'+e^{2x}u_{4}'+e^{-2x}u_{5}'=0,\\[4pt] u_{2}'+2x\,u_{3}'+2e^{2x}u_{4}'-2e^{-2x}u_{5}'=0,\\[4pt] 2u_{3}'+4e^{2x}u_{4}'+4e^{-2x}u_{5}'=0,\\[4pt] 8e^{2x}u_{4}'-8e^{-2x}u_{5}'=0,\\[4pt] 16e^{2x}u_{4}'+16e^{-2x}u_{5}'=32e^{2x}. \end{cases}]

Passo 5

Resolvemos o sistema começando pelas últimas equações, que são simples:
Da penúltima equação
8e^{2x}u_{4}'-8e^{-2x}u_{5}'=0
segue
e^{2x}u_{4}'=e^{-2x}u_{5}'\quad\Rightarrow\quad u_{5}'=e^{4x}u_{4}'.
Da última equação
16e^{2x}u_{4}'+16e^{-2x}u_{5}'=32e^{2x},
substituindo u_{5}'=e^{4x}u_{4}' obtemos
16e^{2x}u_{4}'+16e^{-2x}(e^{4x}u_{4}')=16e^{2x}u_{4}'+16e^{2x}u_{4}'=32e^{2x}u_{4}'=32e^{2x}.
Portanto
u_{4}'=1.
Logo
u_{5}'=e^{4x}.

Passo 6

Usando u_{4}' e u_{5}' na terceira equação do sistema:
2u_{3}'+4e^{2x}u_{4}'+4e^{-2x}u_{5}'=0.
Substituindo u_{4}'=1 e u_{5}'=e^{4x}
2u_{3}'+4e^{2x}\cdot 1 +4e^{-2x}\cdot e^{4x}=2u_{3}'+4e^{2x}+4e^{2x}=2u_{3}'+8e^{2x}=0,
logo
u_{3}'=-4e^{2x}.

Passo 7

Agora usamos a segunda equação
u_{2}'+2x\,u_{3}'+2e^{2x}u_{4}'-2e^{-2x}u_{5}'=0.
Substituindo u_{3}'=-4e^{2x}, u_{4}'=1, u_{5}'=e^{4x} obtemos
u_{2}'+2x(-4e^{2x})+2e^{2x}\cdot 1 -2e^{-2x}\cdot e^{4x}=u_{2}'-8x e^{2x}+2e^{2x}-2e^{2x}=u_{2}'-8x e^{2x}=0.
Portanto
u_{2}'=8x e^{2x}.
Integramos u_{2}'. Calcule \int 8x e^{2x}\,dx. Usando integração por partes ou fórmula direta:
\int x e^{2x}dx = e^{2x}\Big(\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4}\Big)+C,
multiplicando por 8
u_{2}=8\int x e^{2x}dx = e^{2x}(4x-2)+C.
Escolhemos a constante de integração C=0 (qualquer constante é absorvida em y_{h}), assim
u_{2}=4x e^{2x}-2e^{2x}.

Passo 8

Finalmente usamos a primeira equação
u_{1}'+x\,u_{2}'+x^{2}u_{3}'+e^{2x}u_{4}'+e^{-2x}u_{5}'=0.
Substituindo as derivadas já encontradas:
u_{2}'=8x e^{2x},\quad u_{3}'=-4e^{2x},\quad u_{4}'=1,\quad u_{5}'=e^{4x},
obtemos
u_{1}'+x(8x e^{2x})+x^{2}(-4e^{2x})+e^{2x}\cdot 1 + e^{-2x}\cdot e^{4x}=0.
Simplificando os termos:
u_{1}'+8x^{2}e^{2x}-4x^{2}e^{2x}+e^{2x}+e^{2x}=u_{1}'+4x^{2}e^{2x}+2e^{2x}=0.
Assim
u_{1}'=-\big(4x^{2}+2\big)e^{2x}.
Integramos u_{1}'. Calcule
\int \big(-4x^{2}-2\big)e^{2x}dx = -4\int x^{2}e^{2x}dx -2\int e^{2x}dx.
Usando a fórmula para \int x^{2}e^{2x}dx (integração por partes duas vezes) tem-se
\int x^{2}e^{2x}dx = e^{2x}\Big(\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\Big)+C.
Portanto
-4\int x^{2}e^{2x}dx = -4e^{2x}\Big(\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\Big) = e^{2x}(-2x^{2}+2x-1),
e
-2\int e^{2x}dx = -2\cdot \tfrac{1}{2}e^{2x} = -e^{2x}.
Somando,
u_{1}=e^{2x}(-2x^{2}+2x-1)-e^{2x}=e^{2x}(-2x^{2}+2x-2)=-2e^{2x}(x^{2}-x+1).
Tomamos constante de integração zero.

Passo 9

Agora construímos a solução particular
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}+u_{4}y_{4}+u_{5}y_{5}.
Substituindo u_{i} e y_{i}:
\begin{aligned} y_{p}&=(-2e^{2x}(x^{2}-x+1))\cdot 1 +(4x e^{2x}-2e^{2x})\cdot x +(-2e^{2x})\cdot x^{2} + (x)\cdot e^{2x} + \Big(\tfrac{1}{4}e^{4x}\Big)\cdot e^{-2x}\\[4pt] &=e^{2x}\Big[-2(x^{2}-x+1)+4x^{2}-2x-2x^{2}+x+\tfrac{1}{4}\Big]. \end{aligned}
Agrupando termos dentro dos colchetes:
  • Coeficiente de x^{2}: -2+4-2=0.
  • Coeficiente de x: 2-2+1=1.
  • Constante: -2+\tfrac{1}{4}=-\tfrac{7}{4}.
Portanto
y_{p}=e^{2x}\Big(x-\tfrac{7}{4}\Big)=x e^{2x}-\tfrac{7}{4}e^{2x}.
(confirmação rápida: aplicando o operador D^{5}-4D^{3} em y_{p} 32e^{2x}, como pode ser verificado por cálculo direto).]

Passo 10

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo as expressões encontradas:
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{2x}+C_{5}e^{-2x}+x e^{2x}-\tfrac{7}{4}e^{2x}.
Observação: o termo -\tfrac{7}{4}e^{2x} pode ser absorvido numa redefinição da constante C_{4}, mas mantive-o explicitamente para mostrar a solução particular obtida pelo método.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}e^{2x}+C_{5}e^{-2x}+x e^{2x}-\dfrac{7}{4}e^{2x}

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